Câu hỏi:

12/06/2022 329

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2},$ điểm A(3; -1; -1) và mặt phẳng

$(P) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0.$ Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc $φ$ . Biết rằng khoảng cách giữa d và $∆$ là 3, tính giá trị nhỏ nhất của $c o s φ$

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{5}{9}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa $∆$ và song song với d

Khi đó ta có $d (Δ; d) = d (d; (Q)) = d (O; (Q))$ do $O \in d .$

Gọi $\vec{n_{Q}} = (a; b; c)$ là 1 VTPT của (Q).

Khi đó phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; -1; -1) là:

$a (x - 3) + b (y + 1) + c (z + 1) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + c z - 3 a + b + c = 0$

Lại có d // (Q) nên $\vec{u_{d}} ⊥ \vec{n_{Q}} \Leftrightarrow 3 a + 2 b + 2 c = 0.$

Ta có: $d (O; (Q)) = \frac{|- 3 a + b + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 3.$

$\Leftrightarrow {(- 3 a + b + c)}^{2} = 9 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$\Leftrightarrow 9 a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 a b - 6 a c + 2 b c = 9 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$\Leftrightarrow 4 (b^{2} + c^{2}) = - 3 a b - 3 a c + b c$

Ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} 4 (b^{2} + c^{2}) = - 3 a b - 3 a c + b c \\ 3 a + 2 b + 2 c = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 (b^{2} + c^{2}) = 2 (b + c) b + 2 (b + c) c + b c \\ 3 a = - 2 (b + c) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 b^{2} + 4 c^{2} = 2 b^{2} + 2 b c + 2 b c + 2 c^{2} + b c \\ 3 a = - 2 (b + c) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 b^{2} + 2 c^{2} - 5 b c = 0 \\ 3 a = - 2 (b + c) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} b = 2 c \\ c = 2 b \end{array} \\ 3 a = - 2 (b + c) \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 2 c; a = - 2 c \\ c = 2 b; a = - 2 b \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \vec{n_{Q}} = (- 2 c; 2 c; c) = (- 2; 2; 1) \\ \vec{n_{Q}} = (- 2 b; b; 2 b) = (- 2; 1; 2) \end{array}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d (ảnh 1)

Gọi $d' = (P) \cap (Q) .$ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên $(P), d', M = Δ \cap (P) .$

Khi đó ta có $∠ ((P); (Q)) = ∠ A K H, φ = ∠ (Δ; (P)) = ∠ A M H .$

Ta có cos $φ$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow \sin φ$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $\sin φ = \frac{A H}{A M} \leq \frac{A H}{A K},$ do đó $\sin φ_{\max} = \frac{A H}{A K} \Leftrightarrow H \equiv K .$

Khi đó $\cos φ_{\min} = \cos ((P); (Q)) = \frac{|\vec{n_{P}} . \vec{n_{Q}}|}{|\vec{n_{P}}| . |\vec{n_{Q}}|} .$

TH1: $\vec{n_{Q}} = (- 2; 2; 1) \Rightarrow \cos φ_{\min} = \frac{|- 2.1 + 2.2 + 1.2|}{\sqrt{9} . \sqrt{9}} = \frac{4}{9} .$

TH2: $\vec{n_{Q}} = (- 2; 1; 2) \Rightarrow \cos φ_{\min} = \frac{|- 2.1 + 1.2 + 2.2|}{\sqrt{9} . \sqrt{9}} = \frac{4}{9} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\cos φ$ bằng $\frac{4}{9} .$

Chọn C.

Bình luận

Câu 1:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q. Số hạng tổng quát $(u_{n})$ được xác định theo công thức:

A. $u_{n} = u_{1} q^{n}$

B. $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$

C. $u_{n} = u_{1} q^{n + 1}$

D. $u_{n} = u_{1} + (n - 1) q$

Xem đáp án » 06/06/2022 6,733

Câu 2:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = 2, |z_{2}| = 1$ và $|2 z_{1} - 3 z_{2}| = 4.$ Tính giá trị biểu thức $P = |z_{1} + 2 z_{2}| .$

A. $P = \sqrt{10}$

B. $P = \sqrt{11}$

C. $P = \sqrt{15}$

D. $P = 2 \sqrt{5}$

Xem đáp án » 11/06/2022 5,572

Câu 3:

Biết rằng phương trình $\log_{2} x + \log_{3} x = 1 + \log_{2} x . \log_{3} x$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} .$ Giá trị của $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ bằng:

A. 13

B. 2

C. 5

D. 25

Xem đáp án » 08/06/2022 3,478

Câu 4:

Cho hình trụ có độ dài đường sinh l = 5 và bán kính đáy r = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

A. $30 π$

B. $15 π$

C. $5 π$

D. $24 π$

Xem đáp án » 07/06/2022 2,870

Câu 5:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 4$ và y = x - 4 xác định bởi công thức

A. $\int_{0}^{2} (x - x^{2}) d x$

B. $\int_{0}^{1} (x^{2} - x) d x$

C. $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$

D. $\int_{0}^{2} (x^{2} - x) d x$

Xem đáp án » 06/06/2022 2,743

Câu 6:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in (- 20; 20)$ để phương trình $\log_{2} x + \log_{3} (m - x) = 2$ có nghiệm thực?

A. 15

B. 14

C. 24

D. 23

Xem đáp án » 12/06/2022 2,432

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3. Gọi M là trung điểm của SC.

Tính khoảng cách giữa AM và BC.

A. $d (A M; B C) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $d (A M; B C) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. $d (A M; B C) = \frac{3 \sqrt{22}}{11}$

D. $d (A M; B C) = \frac{\sqrt{22}}{6}$

Xem đáp án » 11/06/2022 2,301

Bình luận

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q. Số hạng tổng quát $(u_{n})$ được xác định theo công thức:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = 2, |z_{2}| = 1$ và $|2 z_{1} - 3 z_{2}| = 4.$ Tính giá trị biểu thức $P = |z_{1} + 2 z_{2}| .$

Biết rằng phương trình $\log_{2} x + \log_{3} x = 1 + \log_{2} x . \log_{3} x$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} .$ Giá trị của $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ bằng:

Cho hình trụ có độ dài đường sinh l = 5 và bán kính đáy r = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 4$ và y = x - 4 xác định bởi công thức

Có bao nhiêu số nguyên $m \in (- 20; 20)$ để phương trình $\log_{2} x + \log_{3} (m - x) = 2$ có nghiệm thực?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3. Gọi M là trung điểm của SC.

Tính khoảng cách giữa AM và BC.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Bình luận

Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q. Số hạng tổng quát un được xác định theo công thức:

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1=2,z2=1 và 2z1−3z2=4. Tính giá trị biểu thức P=z1+2z2.

Biết rằng phương trình log2x+log3x=1+log2x.log3x có hai nghiệm x1,x2. Giá trị của x12+x22 bằng:

Cho hình trụ có độ dài đường sinh l = 5 và bán kính đáy r = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2−4 và y = x - 4 xác định bởi công thức

Có bao nhiêu số nguyên m∈−20;20 để phương trình log2x+log3m−x=2 có nghiệm thực?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3. Gọi M là trung điểm của SC. Tính khoảng cách giữa AM và BC.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q. Số hạng tổng quát $(u_{n})$ được xác định theo công thức:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = 2, |z_{2}| = 1$ và $|2 z_{1} - 3 z_{2}| = 4.$ Tính giá trị biểu thức $P = |z_{1} + 2 z_{2}| .$

Biết rằng phương trình $\log_{2} x + \log_{3} x = 1 + \log_{2} x . \log_{3} x$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} .$ Giá trị của $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 4$ và y = x - 4 xác định bởi công thức

Có bao nhiêu số nguyên $m \in (- 20; 20)$ để phương trình $\log_{2} x + \log_{3} (m - x) = 2$ có nghiệm thực?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3. Gọi M là trung điểm của SC.

Tính khoảng cách giữa AM và BC.