Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2},$ điểm A(3; -1; -1) và mặt phẳng

$\left(P\right):x+2y+2z-3=0.$ Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc $\phi$. Biết rằng khoảng cách giữa d và $∆$ là 3, tính giá trị nhỏ nhất của $cos\phi$ 

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa $∆$ và song song với d

Khi đó ta có $d\left(\Delta ;d\right)=d\left(d;\left(Q\right)\right)=d\left(O;\left(Q\right)\right)$ do $O\in d.$

Gọi $\overrightarrow{n_Q}=\left(a;b;c\right)$ là 1 VTPT của (Q).

Khi đó phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; -1; -1) là:

                     $a\left(x-3\right)+b\left(y+1\right)+c\left(z+1\right)=0\iff ax+by+cz-3a+b+c=0$

Lại có d // (Q) nên $\overrightarrow{u_d}\perp \overrightarrow{n_Q}\iff 3a+2b+2c=0.$

Ta có: $d\left(O;\left(Q\right)\right)=\frac{\left|-3a+b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3.$

$\iff {\left(-3a+b+c\right)}^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)$

$\iff 9a^2+b^2+c^2-6ab-6ac+2bc=9\left(a^2+b^2+c^2\right)$

$\iff 4\left(b^2+c^2\right)=-3ab-3ac+bc$

Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}4\left(b^2+c^2\right)=-3ab-3ac+bc\\ 3a+2b+2c=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4\left(b^2+c^2\right)=2\left(b+c\right)b+2\left(b+c\right)c+bc\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4b^2+4c^2=2b^2+2bc+2bc+2c^2+bc\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2b^2+2c^2-5bc=0\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}b=2c\\ c=2b\end{array}\right.\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}b=2c;a=-2c\\ c=2b;a=-2b\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\overrightarrow{n_Q}=\left(-2c;2c;c\right)=\left(-2;2;1\right)\\ \overrightarrow{n_Q}=\left(-2b;b;2b\right)=\left(-2;1;2\right)\end{array}\right.$

Gọi $d\text{'}=\left(P\right)\cap \left(Q\right).$ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên $\left(P\right),d\text{'},M=\Delta \cap \left(P\right).$

Khi đó ta có $\angle \left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=\angle AKH,\phi =\angle \left(\Delta ;\left(P\right)\right)=\angle AMH.$

Ta có cos$\phi$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow \sin \phi$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $\sin \phi =\frac{AH}{AM}\le \frac{AH}{AK},$ do đó $\sin {\phi }_{\max }=\frac{AH}{AK}\iff H\equiv K.$

Khi đó $\cos {\phi }_{\min }=\cos \left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}.$

TH1: $\overrightarrow{n_Q}=\left(-2;2;1\right)\Rightarrow \cos {\phi }_{\min }=\frac{\left|-2.1+2.2+1.2\right|}{\sqrt{9}.\sqrt{9}}=\frac{4}{9}.$

TH2: $\overrightarrow{n_Q}=\left(-2;1;2\right)\Rightarrow \cos {\phi }_{\min }=\frac{\left|-2.1+1.2+2.2\right|}{\sqrt{9}.\sqrt{9}}=\frac{4}{9}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\cos \phi$ bằng $\frac{4}{9}.$