Bác Việt có 12 ha đất canh tác để trồng ba loại cây: ngô, khoai tây và đậu tương. Chi phí trồng 1 ha ngô là 4 triệu đồng, 1 ha khoai tây là 3 triệu đồng và 1 ha đậu tương là 4,5 triệu đồng. Do nhu cầu thị trường, bác đã trồng khoai tây trên phần diện tích gấp đôi diện tích trồng ngô. Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng. Hỏi diện tích trồng mỗi loại cây là bao nhiêu?

a) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ 5y+4z=22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ -6z=-18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2.3=-8\\ z=3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+2+3=6\\ y=2\\ z=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3\end{array}\right..$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).

b) $\left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ -20y+19z=40\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7z=4\\ -33z=-32\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = $\left(\frac{79}{55};-\frac{178}{165};\frac{32}{33}\right).$

c) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ -y-8z=-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\end{array}\right..$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = $\frac{1-y+6z}{2}=\frac{1-\left(7-8z\right)+6z}{2}=7z-3.$ Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z $\in ℝ\text{}}.$

d) $\left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -11y-24z=-23\\ -22y-48z=49\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -22y-48z=-46\\ -22y-48z=49\end{array}\right..$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.

Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}-1=a{.2}^2+b.2+c\\ 3=a{.4}^2+b.4+c\\ 8=a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=-1\\ 16a+4b+c=3\\ a-b+c=-1\end{array}\right..$

Giải hệ này ta được a = $\frac{2}{5},$ b = $-\frac{2}{5},$ c = $-\frac{9}{5}.$

Vậy phương trình của parabol là $y=\frac{2}{5}{x}^2-\frac{2}{5}x-\frac{9}{5}.$

b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng, suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}\Rightarrow$ 5a + b = 0.

Parabol đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4), suy ra

$0=a{.1}^2+b.1+c$ và $-4=a{.5}^2+b.5+c$

hay a + b + c = 0 và 25a + 5b + c = –4.

Vậy ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5a+b=0\\ a+b+c=0\\ 25a+5b+c=-4\end{array}\right..$

Giải hệ này ta được a = –1, b = 5, c = –4.

Vậy phương trình của parabol là y = –x2 + 5x – 4.