Cho đoạn mạch như Hình 1.3. Biết R1 = 36 Ω, R2 = 45 Ω, I3 = 1,5 A là cường độ dòng điện trong mạch chinh và hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch U = 60 V. Gọi I1 và I2 là cường độ dòng điện mạch rẽ. Tính I1, I2 và R3.

a) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ 5y+4z=22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ -6z=-18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2.3=-8\\ z=3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+2+3=6\\ y=2\\ z=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3\end{array}\right..$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).

b) $\left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ -20y+19z=40\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7z=4\\ -33z=-32\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = $\left(\frac{79}{55};-\frac{178}{165};\frac{32}{33}\right).$

c) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ -y-8z=-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\end{array}\right..$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = $\frac{1-y+6z}{2}=\frac{1-\left(7-8z\right)+6z}{2}=7z-3.$ Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z $\in ℝ\text{}}.$

d) $\left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -11y-24z=-23\\ -22y-48z=49\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -22y-48z=-46\\ -22y-48z=49\end{array}\right..$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.

Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}-1=a{.2}^2+b.2+c\\ 3=a{.4}^2+b.4+c\\ 8=a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=-1\\ 16a+4b+c=3\\ a-b+c=-1\end{array}\right..$

Giải hệ này ta được a = $\frac{2}{5},$ b = $-\frac{2}{5},$ c = $-\frac{9}{5}.$

Vậy phương trình của parabol là $y=\frac{2}{5}{x}^2-\frac{2}{5}x-\frac{9}{5}.$

b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng, suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}\Rightarrow$ 5a + b = 0.

Parabol đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4), suy ra

$0=a{.1}^2+b.1+c$ và $-4=a{.5}^2+b.5+c$

hay a + b + c = 0 và 25a + 5b + c = –4.

Vậy ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5a+b=0\\ a+b+c=0\\ 25a+5b+c=-4\end{array}\right..$

Giải hệ này ta được a = –1, b = 5, c = –4.

Vậy phương trình của parabol là y = –x2 + 5x – 4.