Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) 2x−y−z=2x+y=3x−y+z=2; b) 3x−y−z=2x+2y+z=5−x+y=2; c) x−3y−z=−62x−y+2z=64x−7y=−6; d) x−3y−z=−62x−y+2z=64x−7y=3; e) 3x−y−7z=24x−y+z=11−5x−y−9z=−22...

Câu hỏi:

12/07/2024 5,469

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$ ;

b) $\{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ x + 2 y + z = 5 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ ;

c) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases}$ ;

d) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases}$ ;

e) $\{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ 4 x - y + z = 11 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases}$ ;

f) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ 5 x - y - 2 z = 3 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases}$ .

Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $\{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ 3 x - 2 y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ 5 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + 1 = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2.2 - 1 - z = 2 \\ x = 2 \\ y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} z = 1 \\ x = 2 \\ y = 1 \end{array} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (2; 1; 1).

b) $\{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ x + 2 y + z = 5 \\ - x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + y = 7 \\ - x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + y = 7 \\ 5 y = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + 3 = 7 \\ y = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3.1 - 3 - z = 2 \\ x = 1 \\ y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z = - 2 \\ x = 1 \\ y = 3 \end{cases} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (1; 3; –2).

c) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases} .$

Rút x theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được x = $\frac{7 y - 6}{4} .$ Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

z = x – 3y + 6 = $\frac{7 y - 6}{4} - 3 y + 6 = \frac{- 5 y + 18}{4} .$

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là

S = { $(\frac{7 y - 6}{4}; y; \frac{- 5 y + 18}{4})$ | y $\in ℝ} .$

d) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases} .$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –6 = 3, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e) $\{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ 4 x - y + z = 11 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 8 y - 62 z = - 56 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 186 z = - 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31. \frac{24}{31} = - 25 \\ z = \frac{24}{31} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{87}{31} \\ y = 1 \\ z = \frac{24}{31} \end{cases} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(\frac{87}{31}; 1; \frac{24}{31}) .$

f) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ 5 x - y - 2 z = 3 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \end{cases} .$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y = $\frac{16 - 16 z}{13} .$ Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

x = $\frac{3 y + 4 z - 2}{2} = \frac{3. \frac{16 - 16 z}{13} + 4 z - 2}{2} = \frac{36 z + 22}{26} = \frac{18 z + 11}{13} .$

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = { $(\frac{18 z + 11}{13}; \frac{16 - 16 z}{13}; z)$ | y $\in ℝ} .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tiền Hà, Lan, Minh phải trả lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Số tiền tổng cộng là 820 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 820 (1).

– Số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, suy ra $\frac{1}{2} x - y = 5$ hay x – 2y = 10 (2).

– Số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng, suy ra z – y = 210 hay –y + z = 210 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y + z = 820 \\ x - 2 y = 10 \\ - y + z = 210 \end{cases} .$

Giải hệ này ta được x = 310, y = 150, z = 360.

Vậy Lan phải trả Hà 150 nghìn đồng, Minh phải trả Hà 360 nghìn đồng.

Câu 2

Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ôtô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là x, y, z (tỉ đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng, suy ra x + y + z =2,8 (1).

– Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng, suy ra 108%x + 105%y + 112%z = 3,018 hay 108x + 105y + 112z = 301,8 (2).

– Trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X, suy ra x – y = 0,2 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y + z = 2,8 \\ 108 x + 105 y + 112 z = 301,8 \\ x - y = 0,2 \end{cases} .$

Giải hệ này ta được x = 1,2; y = 1; z = 0,6.

Vậy giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là 1,2; 1 và 0,6 tỉ đồng.

Câu 3

Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. Cho hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x + y - 2 z = 3 \\ - x + y + 6 z = 13 \\ 2 x + y - 9 z = - 5 \end{cases}$ .

a) Khử ẩn x của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất. Viết phương trình nhận được (phương trình này không còn chứa ẩn x và là phương trình thứ hai của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu).

b) Khử ẩn x của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên (đã khử x ở hai phương trình cuối).

c) Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ hai và thứ ba khử ẩn y ở phương trình thứ ba. Viết hệ dạng tam giác nhận được.

d) Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ số (2; 0;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a) $\{\begin{cases} x - 2 z & = 4 \\ 2 x + y - z & = 5 \\ - 3 x + 2 y & = - 6 \end{cases}$ ;

b) $\{\begin{cases} x - 2 y + 3 z = 7 \\ 2 x - y^{2} + z = 2 \\ x + 2 y = - 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ số (2; 0;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không. a) x−2z=42x+y−z=5−3x+2y=−6; b) x−2y+3z=72x−y2+z=2x+2y=−1.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu