Câu hỏi:
12/07/2024 8601) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = 8cm,\,\,AC = 6cm\). M là một điểm trên AB. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BC lần lượt cắt BC và AC tại D và N. Hãy xác định điểm M để diện tích của hình bình hành MNCD bằng \(\frac{3}{8}\) diện tích của tam giác ABC?
2) Cho hàm số \(y = mx + 1\) (1)
a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) . Với giá trị \(m\) vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng \(\left( d \right):x + y + 3 = 0\).
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi độ dài AM là x (cm), \(0 < x < 8\).
Theo định lý Ta-lét trong tam giác ABC với \(MN//BC\) ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{x}{8} = \frac{{AN}}{6} \Leftrightarrow AN = \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\)
\( \Rightarrow NC = AC - AN = 6 - \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\).
Diện tích hình bình hành \(MNCD\) là:
\({S_{MNCD}} = AM.NC = x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích tam giác ABC là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)
Theo bài ra, diện tích của hình bình hành MNCD bằng \(\frac{3}{8}\) diện tích của tam giác ABC, nên ta có phương trình \(x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right) = \frac{3}{8}.24\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.
2)
a) Do đồ thị hàm số (1) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) nên ta có phương trình \(4 = m.1 + 1 \Leftrightarrow m = 3\) .
Với \(m = 3\) hàm số (1) có dạng \(y = 3x + 1\)
Vì \(3 > 0\) nên hàm số (1) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Phương trình đường thẳng \[\left( d \right)\] là: \(y = - x - 3\).
Để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng \[\left( d \right)\] thì \(\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\1 \ne - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\)
Vậy \(m = - 1\) thì đồ thị của hàm số (1) song song với đường thẳng \[\left( d \right)\].
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1) Ta có \(\widehat {AIM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \left( {gt} \right)\), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.
Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới góc \(90^\circ \).
2) Tứ giác CPMK có \(\widehat {MPC} = \widehat {MKC} = 90^\circ \) (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MCK}\)(1). Vì KC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên ta có: \(\widehat {MCK} = \widehat {MBC}\) (cùng chắn ) (2).
Từ (l), (2) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MBC}\) (3).
Nhận xét: Bài toán chứng minh hai góc bằng nhau bằng cách sử dụng tính chất bắc cầu.
3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.
Suy ra: \(\widehat {MIP} = \widehat {MBP}\) (4). Từ (3) (4) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MIP}\)
Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {MKP} = \widehat {MPI}\).
Suy ra: \(\Delta MPK\) đồng dạng với \(\Delta MIP\)
\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{MK}} = \frac{{MI}}{{MP}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2} \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\)
Do đó \(MI.MK.MP\) lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất.
Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).
Lại có: \(MP + OH \le OM = R \Rightarrow MP \le R - OH\). Do đó MP lớn nhất bằng \(R - OH\) khi và chỉ khi \(O,H,M\) thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Suy ra \(max\,MI.MK.MP = {\left( {R - OH} \right)^3} \Leftrightarrow M\) nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Lời giải
1) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt x \ne 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x \ge 0\\\sqrt x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ge 0\\\sqrt x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1\)
Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\)
\( = \left[ {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\)
\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\).
Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(\left( {a \ge 0} \right)\)
Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} - a}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right):\frac{{a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}}\)
\( = \left[ {\frac{{1 + a}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a - 1}}{a} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\).
Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2) Với \(P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{3}\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt x - 1} \right) = \sqrt x \Leftrightarrow 2\sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\) (thõa mãn).
Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước.
3) Ta có \(Q = P - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) và \(9\sqrt x \), tạ có:
\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 2\sqrt 9 = 6\).
\( \Rightarrow Q \le 1 - 6 = - 5\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow 1 = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)
Vậy \(\max P = - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}\).
Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận