Câu hỏi:

11/07/2024 19,736

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O:R} \right)\) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ \(MI \bot AB,\,\,MK \bot AC\) \(\left( {I \in AB,\,\,K \in AC} \right)\)

1) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2) Vẽ \(MP \bot BC\) \(\left( {P \in BC} \right)\). Chứng minh: \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\).

3) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích \[MI.MK.MP\] đạt giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1) Ta có \(\widehat {AIM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \left( {gt} \right)\), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới góc \(90^\circ \).

2) Tứ giác CPMK có \(\widehat {MPC} = \widehat {MKC} = 90^\circ \) (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MCK}\)(1). Vì KC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên ta có: \(\widehat {MCK} = \widehat {MBC}\) (cùng chắn ) (2).

Từ (l), (2) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MBC}\) (3).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai góc bằng nhau bằng cách sử dụng tính chất bắc cầu.

3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: \(\widehat {MIP} = \widehat {MBP}\) (4). Từ (3) (4) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MIP}\)

Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {MKP} = \widehat {MPI}\).

Suy ra: \(\Delta MPK\) đồng dạng với \(\Delta MIP\)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{MK}} = \frac{{MI}}{{MP}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2} \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\)

Do đó \(MI.MK.MP\) lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).

Lại có: \(MP + OH \le OM = R \Rightarrow MP \le R - OH\). Do đó MP lớn nhất bằng \(R - OH\) khi và chỉ khi \(O,H,M\) thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Suy ra \(max\,MI.MK.MP = {\left( {R - OH} \right)^3} \Leftrightarrow M\) nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\).

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(P = \frac{1}{3}\)?

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = A - 9\sqrt x \)?

Xem đáp án

Lời giải

1) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt x \ne 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x \ge 0\\\sqrt x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ge 0\\\sqrt x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\).

Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(\left( {a \ge 0} \right)\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} - a}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right):\frac{{a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{{1 + a}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a - 1}}{a} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\).

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2) Với \(P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt x - 1} \right) = \sqrt x \Leftrightarrow 2\sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\) (thõa mãn).

Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước.

3) Ta có \(Q = P - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) và \(9\sqrt x \), tạ có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 2\sqrt 9 = 6\).

\( \Rightarrow Q \le 1 - 6 = - 5\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow 1 = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Vậy \(\max P = - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}\).

Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.

Câu 2

Tìm \[a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c\] biết rằng phương trình: \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\)?

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm là \(x = - 1\) và \(x = 1\), thay vào phương trình ta được hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\1 + a + b + c = 0\end{array} \right.\)

Trừ hai phương trình trên, ta được: \( - 2 - 2b = 0 \Leftrightarrow b = - 1\)

Cộng hai phương trình trên, ta được: \(a + c = 0 \Leftrightarrow c = - a\)

Phương trình trở thành: \[{x^3} + a{x^2} - x - a = 0\]

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + a} \right) - \left( {x + a} \right) \Leftrightarrow \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)

Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\), khi đó phương trình \(x + a = 0\) phải có nghiệm là \( - 1\) hoặc 1, suy ra. \(a = 1\) hoặc \(a = - 1\).

Vậy các số a; b; c cần tìm là \(a = 1;b = - 1;c = - 1\) hoặc \(a = - 1;b = - 1;c = 1\).

Câu 3