Câu hỏi:

12/07/2024 4,272

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai đội bóng bàn của hai trường phổ thông thi đấu nhau. Mỗi cầu thủ của đội này phải thi đấu với mỗi cầu thủ của đội kia một trận. Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ hai đội và số cầu thủ của ít nhất một trong hai đội là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu cầu thủ?

2) Cho Parabol \[\left( P \right):y = {x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right):2x - {m^2} + 9\]

a) Tìm tọa độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi \[m = 1\]

b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1) Gọi x và y lần lượt là số cầu thủ của mỗi đội (x, y nguyên dương)

Giả sử x là số lẻ

Vì mỗi cầu thủ của đội này phải thi đấu với mỗi cầu thủ của đội kia một trận nên tổng số trận đấu là x.y

Vì tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả 2 đội nên ta có phương trình \[x.y = 4\left( {x + y} \right)\]

\[ \Leftrightarrow x.y - 4x - 4y + 16 = 16 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {y - 4} \right) = 16\]

Vì x, y là số nguyên dương nên : \[x - 4 \ge - 3\] và \[y - 4 \ge - 3\]

Mặt khác x là số lẻ nên \[x - 4\] là số lẻ

Mà 16 chỉ phân tích được thành tích của 2 số trong đó có một số lẻ là : \[16 = 1.16\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 20\end{array} \right.\](thỏa mãn điều kiện )

Vậy một đội có 5 cầu thủ, đội còn lại có 20 cầu thủ

a) Với \[m = 1\], ta có \[\left( d \right):2x + 8\]

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với đồ thị (P) là :

\[{x^2} = 2x + 8 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4x - 8 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = 2.\left( { - 2} \right) + 8 = 4\\x = 4 \Rightarrow y = 2.4 + 8 = 16\end{array} \right.\]

Vậy tọa độ các giao điểm của (d) và (P) là \[\left( { - 2;4} \right)\] và \[\left( {4;16} \right)\]

b) Phương trình hoành độ của đường thẳng (d) và đồ thị (P) là :

\[{x^2} = 2x - {m^2} + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \left( {{m^2} - 9} \right) = 0\left( 1 \right)\]

Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow 1\left( {{m^2} - 9} \right) < 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3\]

Vậy \[ - 3 < m < 3\] thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác \[\Delta ABC\] vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S

1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc \[\widehat {BCS}\]

2) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy

3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[\Delta ADE\]

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường (ảnh 1)

1) Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \left( {gt} \right)\]

\[\widehat {MDC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

A, D nhìn BC dưới góc \[90^\circ \] , tứ giác ABCD nội tiếp

Vì tứ giác ABCD nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ACB}\](cùng chắn cung AB) (1)

Ta có tứ giác DMCS nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ACS}\](cùng bù với\[\widehat {MDS}\]) (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {ACS}\]

2) Giả sử BA cắt CD tại K. Ta có \[BD \bot CK,CA \bot BK\]

\[ \Rightarrow M\] là trực tâm \[\Delta KBC\]. Mặt khác \[\widehat {MEC} = 90^\circ \](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\[ \Rightarrow K,M,E\] thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy tại K

3) Vì tứ giác ABCD nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DBC}\](cùng chắn ) (3)

Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {MAE} = \widehat {MBE}\](cùng chắn ) (4)

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] hay AM là tia phân giác \[\widehat {DAE}\]

Chứng minh tương tự \[\widehat {ADM} = \widehat {MDE}\] hay DM là tia phân giác \[\widehat {ADE}\]

Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ADE\]

Câu 2

Cho biểu thức \[P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\]

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tìm m thỏa mãn \[P\sqrt x = m - \sqrt x ?\]

Xem đáp án

Lời giải

1) Điều kiện xác định : \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x - \sqrt x \ne 0\\\sqrt x + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1\]

Ta có : \[P = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right]\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\sqrt x }}} \right]\] \[:\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{x - 1}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\sqrt x }}} \right].\left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\] \[ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\] \[ = \] \[\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]

Vậy \[P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]

Cách 2: Đặt \[a = \sqrt x \left( {a \ge 0} \right)\]

Ta có

\[P = \left( {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{{a^2} - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{{a^2} - 1}}} \right) = \left[ {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{{a^2} - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{\left( {a - 1} \right) + 2}}{{a + 1}} = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{a + 1}}{{a + 1}} = \frac{{a + 1}}{a} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\]

Nhận xét : Bài toán rút gọn biểu thức có chứa biến

2) Ta có : \[P\sqrt x = m - \sqrt x \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\sqrt x = m - \sqrt x \]

\[ \Leftrightarrow x - 1 = m - \sqrt x \Leftrightarrow m = x - 1 + \sqrt x \]

Vậy \[m = x - 1 + \sqrt x \]với \[0 < x \ne 1\]

Nhận xét : Bài toán tìm tham số để thỏa mãn một đẳng thức cho trước

Câu 3