Cho tam giác \[\Delta ABC\] vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S

1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc \[\widehat {BCS}\]

2) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy

3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[\Delta ADE\]

1) Điều kiện xác định : \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1\]

Ta có : \[P = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right]\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}} \right]\] \[:\left( {\frac{{\sqrt x  - 1 + 2}}{{x - 1}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}} \right].\left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)\] \[ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\] \[ = \] \[\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]

Vậy \[P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]

Cách 2: Đặt \[a = \sqrt x \left( {a \ge 0} \right)\]

Ta có

\[P = \left( {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{{a^2} - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{{a^2} - 1}}} \right) = \left[ {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{{a^2} - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{\left( {a - 1} \right) + 2}}{{a + 1}} = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{a + 1}}{{a + 1}} = \frac{{a + 1}}{a} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\]

Nhận xét : Bài toán rút gọn biểu thức có chứa biến

2) Ta có : \[P\sqrt x  = m - \sqrt x  \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\sqrt x  = m - \sqrt x \]

\[ \Leftrightarrow x - 1 = m - \sqrt x  \Leftrightarrow m = x - 1 + \sqrt x \]

Vậy \[m = x - 1 + \sqrt x \]với \[0 < x \ne 1\]

Nhận xét : Bài toán tìm tham số để thỏa mãn một đẳng thức cho trước

1) Gọi x và y lần lượt là số cầu thủ của mỗi đội (x, y nguyên dương)

Giả sử x là số lẻ

Vì mỗi cầu thủ của đội này phải thi đấu với mỗi cầu thủ của đội kia một trận nên tổng số trận đấu là x.y

Vì tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả 2 đội nên ta có phương trình \[x.y = 4\left( {x + y} \right)\]

\[ \Leftrightarrow x.y - 4x - 4y + 16 = 16 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {y - 4} \right) = 16\]

Vì x, y là số nguyên dương nên : \[x - 4 \ge  - 3\] và \[y - 4 \ge  - 3\]

Mặt khác x là số lẻ nên \[x - 4\] là số lẻ

Mà 16 chỉ phân tích được thành tích của 2 số trong đó có một số lẻ là : \[16 = 1.16\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 20\end{array} \right.\](thỏa mãn điều kiện )

Vậy một đội có 5 cầu thủ, đội còn lại có 20 cầu thủ

2)

a) Với \[m = 1\], ta có \[\left( d \right):2x + 8\]

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với đồ thị (P) là :

\[{x^2} = 2x + 8 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4x - 8 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow y = 2.\left( { - 2} \right) + 8 = 4\\x = 4 \Rightarrow y = 2.4 + 8 = 16\end{array} \right.\]

Vậy tọa độ các giao điểm của (d) và (P) là \[\left( { - 2;4} \right)\] và \[\left( {4;16} \right)\]

b) Phương trình hoành độ của đường thẳng (d) và đồ thị (P) là :

\[{x^2} = 2x - {m^2} + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \left( {{m^2} - 9} \right) = 0\left( 1 \right)\]

Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow 1\left( {{m^2} - 9} \right) < 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 3\]

Vậy \[ - 3 < m < 3\] thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung