Câu hỏi:

11/07/2024 9,778

Cho tam giác \[\Delta ABC\] vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S

1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc \[\widehat {BCS}\]

2) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy

3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[\Delta ADE\]

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường (ảnh 1)

1) Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \left( {gt} \right)\]

\[\widehat {MDC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

A, D nhìn BC dưới góc \[90^\circ \] , tứ giác ABCD nội tiếp

Vì tứ giác ABCD nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ACB}\](cùng chắn cung AB) (1)

Ta có tứ giác DMCS nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ACS}\](cùng bù với\[\widehat {MDS}\])    (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {ACS}\]

2) Giả sử BA cắt CD tại K. Ta có \[BD \bot CK,CA \bot BK\]

\[ \Rightarrow M\] là trực tâm \[\Delta KBC\]. Mặt khác \[\widehat {MEC} = 90^\circ \](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\[ \Rightarrow K,M,E\] thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy tại K

3) Vì tứ giác ABCD nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DBC}\](cùng chắn )       (3)

Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {MAE} = \widehat {MBE}\](cùng chắn ) (4)

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] hay AM là tia phân giác \[\widehat {DAE}\]

Chứng minh tương tự \[\widehat {ADM} = \widehat {MDE}\] hay DM là tia phân giác \[\widehat {ADE}\]

Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ADE\]

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

1) Điều kiện xác định : \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1\]

Ta có : \[P = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right]\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}} \right]\] \[:\left( {\frac{{\sqrt x  - 1 + 2}}{{x - 1}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}} \right].\left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)\] \[ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\] \[ = \] \[\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]

Vậy \[P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]

Cách 2: Đặt \[a = \sqrt x \left( {a \ge 0} \right)\]

Ta có

\[P = \left( {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{{a^2} - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{{a^2} - 1}}} \right) = \left[ {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{{a^2} - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{\left( {a - 1} \right) + 2}}{{a + 1}} = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{a + 1}}{{a + 1}} = \frac{{a + 1}}{a} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\]

Nhận xét : Bài toán rút gọn biểu thức có chứa biến

2) Ta có : \[P\sqrt x  = m - \sqrt x  \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\sqrt x  = m - \sqrt x \]

\[ \Leftrightarrow x - 1 = m - \sqrt x  \Leftrightarrow m = x - 1 + \sqrt x \]

Vậy \[m = x - 1 + \sqrt x \]với \[0 < x \ne 1\]

Nhận xét : Bài toán tìm tham số để thỏa mãn một đẳng thức cho trước

Lời giải

1) Gọi x và y lần lượt là số cầu thủ của mỗi đội (x, y nguyên dương)

Giả sử x là số lẻ

Vì mỗi cầu thủ của đội này phải thi đấu với mỗi cầu thủ của đội kia một trận nên tổng số trận đấu là x.y

Vì tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả 2 đội nên ta có phương trình \[x.y = 4\left( {x + y} \right)\]

\[ \Leftrightarrow x.y - 4x - 4y + 16 = 16 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {y - 4} \right) = 16\]

Vì x, y là số nguyên dương nên : \[x - 4 \ge  - 3\] và \[y - 4 \ge  - 3\]

Mặt khác x là số lẻ nên \[x - 4\] là số lẻ

Mà 16 chỉ phân tích được thành tích của 2 số trong đó có một số lẻ là : \[16 = 1.16\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 20\end{array} \right.\](thỏa mãn điều kiện )

Vậy một đội có 5 cầu thủ, đội còn lại có 20 cầu thủ

2)

a) Với \[m = 1\], ta có \[\left( d \right):2x + 8\]

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với đồ thị (P) là :

\[{x^2} = 2x + 8 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4x - 8 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow y = 2.\left( { - 2} \right) + 8 = 4\\x = 4 \Rightarrow y = 2.4 + 8 = 16\end{array} \right.\]

Vậy tọa độ các giao điểm của (d) và (P) là \[\left( { - 2;4} \right)\] và \[\left( {4;16} \right)\]

b) Phương trình hoành độ của đường thẳng (d) và đồ thị (P) là :

\[{x^2} = 2x - {m^2} + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \left( {{m^2} - 9} \right) = 0\left( 1 \right)\]

Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow 1\left( {{m^2} - 9} \right) < 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 3\]

Vậy \[ - 3 < m < 3\] thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay