Cho hypebol (H) có tâm sai bằng 2. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn giải Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0). Hypebol (H) có tâm sai bằng 2⇒ca=2 ⇒a2+b2a=2⇒a2+b2a2=2⇒a2+b2=2a2⇒a2=b2⇒a=b⇒2a=2b. Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Câu hỏi:

11/07/2024 1,900

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$ . Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Hypebol có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

Hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2} \Rightarrow$ $\frac{c}{a} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a} = \sqrt{2} \Rightarrow \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2}} = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} \Rightarrow a = b \Rightarrow 2 a = 2 b .$

Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình: $\frac{x^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{100} = 1.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Khi x = 40 thì $\frac{40^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{100} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{100} = 3 \Rightarrow y^{2} = 300 \Rightarrow [\begin{array}{l} y = 10 \sqrt{3} \\ y = - 10 \sqrt{3} \end{array}$

=> Bề rộng của thảm nhiễu là $20 \sqrt{3}$ (mile)

=> Cao độ của máy bay là $\frac{20 \sqrt{3}}{5} = 4 \sqrt{3}$ ≈ 6,93 (mlie)

Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.

Câu 2

Cho hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ .

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (13; \frac{25}{12})$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) $\in$ (H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Xem đáp án

Lời giải

$| a + \frac{c}{a} x | = | 12 + \frac{13}{12} .13 | = \frac{313}{12};$

Hướng dẫn giải

a) Có $a^{2} = 144, b^{2} = 25$ => a = 12, b = 5, $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 13.$

Tâm sau của (H) là e = $\frac{c}{a} = \frac{13}{12} .$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (13; \frac{25}{12})$ là:

MF₁ = $| a + \frac{c}{a} x | = | 12 + \frac{13}{12} .13 | = \frac{313}{12};$

MF₂ = $| a - \frac{c}{a} x | = | 12 - \frac{13}{12} .13 | = \frac{25}{12} .$

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0) và F₂(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0 \Leftrightarrow x + \frac{a^{2}}{c} = 0 \Leftrightarrow x + \frac{144}{13} = 0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là $Δ_{1} : x - \frac{a}{e} = 0 \Leftrightarrow x - \frac{a^{2}}{c} = 0 \Leftrightarrow x - \frac{144}{13} = 0.$

c) NF₁ = $| a + \frac{c}{a} x |;$ NF₂ = $| a - \frac{c}{a} x | .$

NF₁ = 2NF₂ $\Leftrightarrow | a + \frac{c}{a} x | = 2 | a - \frac{c}{a} x | \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a + \frac{c}{a} x = 2 (a - \frac{c}{a} x) \\ a + \frac{c}{a} x = 2 (\frac{c}{a} x - a) \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 3 \frac{c}{a} x \\ 3 a = \frac{c}{a} x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{a^{2}}{3 c} = \frac{144}{3.13} = \frac{48}{13} \\ x = \frac{3 a^{2}}{c} = \frac{3.144}{13} = \frac{432}{13} \end{array} .$

+) x = 48/13 loại vì 0 < x < a.

+) x = 432/13 thì $\frac{{(\frac{432}{13})}^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1 \Rightarrow y^{2} = \frac{32400}{169} \Rightarrow [\begin{array}{l} y = \frac{180}{13} \\ y = - \frac{180}{13} \end{array} .$

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N_{1 $(\frac{432}{13}; \frac{180}{13})$} và N_{2 $(\frac{432}{13}; - \frac{180}{13}) .$}

Câu 3

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng 2. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13.

Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$ . Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.