Ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$ nên các điểm có toạ độ M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (H).

Câu 2/17

Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1.$

Có $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ = 42 + 32 = 25, suy ra c = 5.

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–4; 0) và A₂(4; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–5; 0) và F₂(5; 0).

Tiêu cự của hypebol là 2c = 10.

Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.

Câu 3/17

Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình: $\frac{x^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{100} = 1.$

Lời giải

Hướng dẫn giải

Khi x = 40 thì $\frac{40^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{100} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{100} = 3 \Rightarrow y^{2} = 300 \Rightarrow [\begin{array}{l} y = 10 \sqrt{3} \\ y = - 10 \sqrt{3} \end{array}$

=> Bề rộng của thảm nhiễu là $20 \sqrt{3}$ (mile)

=> Cao độ của máy bay là $\frac{20 \sqrt{3}}{5} = 4 \sqrt{3}$ ≈ 6,93 (mlie)

Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.

Câu 4/17

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

a) Chứng minh rằng F₁M2 – F₂M2 = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₁(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₂ – MF₁ = 2a đã biết để chứng minh $M F_{2} + M F_{1} = - 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $M F_{1} = - a - \frac{c}{a} x$ ; $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x .$

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₂(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₁ – MF₂ = 2a đã biết để chứng minh $M F_{2} + M F_{1} = 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$ ; $M F_{2} = - a + \frac{c}{a} x .$

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) F₁M2 = ${[x - (- c)]}^{2}$ + ${(y - 0)}^{2}$ = ${(x + c)}^{2}$ + $y^{2}$ = $x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ;

F₂M2 = ${(x - c)}^{2}$ + ${(y - 0)}^{2}$ = $x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

F₁M2 – F₂M2 = ( $x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ) – ( $x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ) = 4cx.

b) Ta có: MF₁2 – MF₂2 = 4cx => (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx => (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

=> MF₁ + MF₂ = $\frac{4 c x}{2 a}$ = – $\frac{2 c}{a}$ x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = – $\frac{2 c}{a}$ + (–2a) => 2MF₁ = –

\frac{2 c}{a}

– 2a

=> MF₁ = $- (\frac{c}{a} x + a)$ $= - a - \frac{c}{a} x .$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = – $\frac{2 c}{a}$ – (–2a) => 2MF₂ = - $\frac{2 c}{a}$ + 2a

=> MF₂ = a –c/a x.

c) Ta có: MF₁2 – MF₂2 = 4cx => (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx => (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

=> MF₁ + MF₂ = $\frac{4 c x}{2 a}$ = $\frac{2 c}{a}$ x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = $\frac{2 c}{a}$ + 2a => 2MF₁ = $\frac{2 c}{a}$ + 2a

=> MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x.

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = $\frac{2 c}{a}$ – 2a => 2MF₂ = $\frac{2 c}{a}$ – 2a

=> MF₂ = – a + $\frac{c}{a}$ x.

Câu 5/17

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Lời giải

Hướng dẫn giải

Có $a^{2} = 64, b^{2}$ = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:

MF₁ = $| a + \frac{c}{a} x | = | 8 + \frac{10}{8} x | = | 8 + \frac{5}{4} x |;$ MF₂ = $| a - \frac{c}{a} x | = | 8 - \frac{10}{8} x | = | 8 - \frac{5}{4} x | .$

Câu 6/17

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Lời giải

Hướng dẫn giải

Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) là:

A₂F₁ = $| a + \frac{c}{a} x | = | a + \frac{c}{a} a | = | a + c | = a + c$ (vì a + c > 0 );

A₂F₂ = $| a - \frac{c}{a} x | = | a - \frac{c}{a} a | = | a - c | = c - a$ (vì a – c < 0).

Câu 7/17