Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H):x2a2−y2b2=1. a) Chứng minh rằng F1M2 – F2M2 = 4cx. b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết...

Hướng dẫn giải a) F1M2 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 +2cx + c2 + y2; F2M2 = (x – c)2 +(y – 0)2= x2 -2cx + c2 + y2 F1M2 – F2M2 = (x2 +2cx + c2 + y2) – (x2 -2cx + c2 + y2) = 4cx. b) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx => (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx => (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx => MF1 + MF2 = 4cx2a = –2cax. Khi đó: (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = –2ca + (–2a) => 2MF1 = – 2ca – 2a => MF1 = −(cax+a)=−a−cax. (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = –2ca – (–2a) => 2MF2 = -2ca + 2a => MF2 = a –c/a x. c) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx => (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx => (MF1 + MF2)2a = 4cx => MF1 + MF2 = 4cx2a = 2cax. Khi đó: (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) =2ca + 2a => 2MF1 =2ca + 2a => MF1 = a + cax. (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) =2ca – 2a => 2MF2 =2ca – 2a => MF2 = – a +cax.

Câu hỏi:

12/07/2024 527

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

a) Chứng minh rằng F₁M2 – F₂M2 = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₁(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₂ – MF₁ = 2a đã biết để chứng minh $M F_{2} + M F_{1} = - 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $M F_{1} = - a - \frac{c}{a} x$ ; $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x .$

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₂(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₁ – MF₂ = 2a đã biết để chứng minh $M F_{2} + M F_{1} = 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$ ; $M F_{2} = - a + \frac{c}{a} x .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Hypebol có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) F₁M2 = ${[x - (- c)]}^{2}$ + ${(y - 0)}^{2}$ = ${(x + c)}^{2}$ + $y^{2}$ = $x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ;

F₂M2 = ${(x - c)}^{2}$ + ${(y - 0)}^{2}$ = $x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

F₁M2 – F₂M2 = ( $x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ) – ( $x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ) = 4cx.

b) Ta có: MF₁2 – MF₂2 = 4cx => (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx => (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

=> MF₁ + MF₂ = $\frac{4 c x}{2 a}$ = – $\frac{2 c}{a}$ x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = – $\frac{2 c}{a}$ + (–2a) => 2MF₁ = –

\frac{2 c}{a}

– 2a

=> MF₁ = $- (\frac{c}{a} x + a)$ $= - a - \frac{c}{a} x .$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = – $\frac{2 c}{a}$ – (–2a) => 2MF₂ = - $\frac{2 c}{a}$ + 2a

=> MF₂ = a –c/a x.

c) Ta có: MF₁2 – MF₂2 = 4cx => (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx => (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

=> MF₁ + MF₂ = $\frac{4 c x}{2 a}$ = $\frac{2 c}{a}$ x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = $\frac{2 c}{a}$ + 2a => 2MF₁ = $\frac{2 c}{a}$ + 2a

=> MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x.

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = $\frac{2 c}{a}$ – 2a => 2MF₂ = $\frac{2 c}{a}$ – 2a

=> MF₂ = – a + $\frac{c}{a}$ x.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình: $\frac{x^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{100} = 1.$

Xem đáp án » 11/07/2024 2,929

Câu 2:

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13.

Xem đáp án » 11/07/2024 2,830

Câu 3:

Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,482

Câu 4:

Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,387

Câu 5:

Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,238

Câu 6:

Cho hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ .

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (13; \frac{25}{12})$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) $\in$ (H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,188

Câu 7:

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$ . Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,239

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.