Câu hỏi:
14/06/2022 871Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r.
a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).
b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải
a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C);
I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C).
Vì F2 nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').
+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF1 => IF2 + r = IF1 => IF1 – IF2 = r
+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF1 => IF2 – r = IF1
=> IF2 – IF1 = r.
Vậy ta luôn có |IF2 – IF1| = r trong cả hai trường hợp
=> I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F1, F2 và độ dài trục thực là r.
b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F1F2 và F1, F2 đều nằm trên trục Ox.
Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là (a > 0, b > 0).
Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r/2
F1F2 = 4r, suy ra c = 2r, suy ra
Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình:
Câu 2:
Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13.
Câu 3:
Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.
Câu 4:
Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.
Câu 5:
Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.
a) Lập phương trình chính tắc của (H).
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.
Câu 6:
Cho hypebol .
a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm trên (H).
b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.
c) Tìm điểm N(x; y) (H) sao cho NF1 = 2NF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (H).
Câu 7:
Cho hypebol (H) có tâm sai bằng . Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.
về câu hỏi!