Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, H là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{HB}=-2\overrightarrow{HA}$ và $SH\perp \left(ABC\right),$ các mặt bên (SAC) và (SBC) cùng tạo với đáy một góc ${45}^0.$ Biết $SB=a\sqrt{6},$ thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

Mùa hè năm 2021, để chuẩn bị cho “học kì quân đội” dành cho các bạn nhỏ, một đơn vị bộ đội chuẩn bị thực phẩm cho các bạn nhỏ, dự kiến đủ dùng trong 45 ngày (năng suất ăn của mỗi ngày là như nhau). Nhưng bắt đầu từ ngày thứ 11, do số lượng thành viên tham gia tăng lên, nên lượng tiêu thụ thực phẩm tăng lên 10% mỗi ngày (ngày sau tăng 10% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng cho bao nhiêu ngày?

Nghiệm của phương trình ${\log }_{3}x=\frac{1}{3}$ là:

Cho hình chóp S.ABCD có $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$ có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại $S,SA=a,SB=a\sqrt{3}.$ Giá trị tan của góc giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4$ và $\left(S_2\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=1.$ Gọi M là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu $\left(S_2\right)$sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $\left(S_1\right)$ theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là: 

Xét các số phức z thỏa mãn |z - 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z+2\right|+2\left|3-\overline{z}\right|.$ Tổng M + m bằng:

Một lớp học có 18 nam và 12 nữ. Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó, trong đó có một nam và một nữ tham gia đội xung kích của nhà trường là: