Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;2),B(1;1;0) và mặt cầu (S):x2+y2+(z−1)2=14 . Xét điểm M thay đổi thuộc . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2+2MB2 bằng: A. 12 B. 34 C. 214 D. 194

Đáp án D Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn IA→+2IB→=0→ Ta có {−a+2−2a=0−b+2−2b=02−c−2c=0⇔{a=23b=23c=23⇒I(23;23;23) Ta có: MA2+2MB2=(MI→+IA→)2+2(MI→+IB→)2 =MI2+2MI→.MA→+IA2+2MI2+4MI→.IB→+IB2 =3MI2+IA2+2IB2+2MI→(IA→+2IB→)⏟0=3MI2+IA2+2IB2⏟const=3MI2+IA2+2IB2+2MI→(IA→+2IB→)⏟0=3MI2+IA2+2IB2⏟const Do {IA2=(−23)2+(−23)2+(2−23)2=83IB2=(1−23)2+(1−23)2+(−23)2=23⇒IA2+2IB2=4 không đổi, nên (MA2+2MB2)min⇔MImin với I(23;23;23), M∈(S) . Ta có (23)2+(23)2+(23−1)2=1>14⇒Inằm ngoài (S) Khi đó MImin=IJ−R với J(0;0;1)là tâm mặt cầu, R=12 là bán kính mặt cầu. Ta có: IJ=(−23)2+(−23)2+(1−23)2=1⇒MImin=1−12=12 Vậy (MA2+2MB2)min=3MImin2+4=3.(12)2+4=194 .

Câu hỏi:

15/06/2022 5,741

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (0; 0; 2), B (1; 1; 0)$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{1}{4}$ . Xét điểm M thay đổi thuộc . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A^{2} + 2 M B^{2}$ bằng:

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

\frac{21}{4}

\frac{19}{4}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;2), B( 1;1;0) và mặt cầu (S): x^2+y^2+(z-1)^2=1/4 . Xét điểm M thay đổi thuộc (S) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA^2+2MB^2 bằng: (ảnh 1)

Gọi $I (a; b; c)$ là điểm thỏa mãn $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$

Ta có ${\begin{cases} - a + 2 - 2 a = 0 \\ - b + 2 - 2 b = 0 \\ 2 - c - 2 c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ b = \frac{2}{3} \\ c = \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow I (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$

Ta có: $M A^{2} + 2 M B^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}$

$= M I^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{M A} + I A^{2} + 2 M I^{2} + 4 \vec{M I} . \vec{I B} + I B^{2}$

$= 3 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} + 2 \vec{M I} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{I A} + 2 \vec{I B})}} = 3 M I^{2} + \underset{c o n s t}{\underset{⏟}{I A^{2} + 2 I B^{2}}} = 3 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} + 2 \vec{M I} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{I A} + 2 \vec{I B})}} = 3 M I^{2} + \underset{c o n s t}{\underset{⏟}{I A^{2} + 2 I B^{2}}}$

Do ${\begin{cases} I A^{2} = {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(2 - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{8}{3} \\ I B^{2} = {(1 - \frac{2}{3})}^{2} + {(1 - \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow I A^{2} + 2 I B^{2} = 4$ không đổi, nên ${(M A^{2} + 2 M B^{2})}_{\min} \Leftrightarrow M I_{\min}$

với $I (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}), M \in (S)$ .

Ta có ${(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3} - 1)}^{2} = 1 > \frac{1}{4} \Rightarrow I$ nằm ngoài (S)

Khi đó $M I_{\min} = I J - R$ với $J (0; 0; 1)$ là tâm mặt cầu, $R = \frac{1}{2}$ là bán kính mặt cầu.

Ta có: $IJ = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(1 - \frac{2}{3})}^{2}} = 1 \Rightarrow M I_{\min} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Vậy ${(M A^{2} + 2 M B^{2})}_{\min} = 3 M I_{\min}^{2} + 4 = 3. {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 = \frac{19}{4}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Lời giải

Đáp án B

. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f(2+f(e^x))=1 là: (ảnh 2)

Số nghiệm của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (2 + f (e^{x}))$ và đường thẳng .

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$f (2 + f (e^{x})) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 + f (e^{x}) = - 1 \\ 2 + f (e^{x}) = x_{0} \in (2; 3) \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (e^{x}) = - 3 \\ f (e^{x}) = x_{0} - 2 \in (0; 1) \end{array}$

Tương tự ta có: $f (e^{x}) = - 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} e^{x} = 1 \\ e^{x} = x_{1} < - 1 (vo nghiem) \end{array} \Leftrightarrow x = 0$ .

$f (e^{x}) = x_{0} - 2 \in (0; 1) \Rightarrow$ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0

$\Rightarrow [\begin{array}{l} e^{x} = a < 0 (vo nghiem) \\ e^{x} = b < 0 (vo nghiem) \\ e^{x} = c > 0 \Leftrightarrow x = \ln c \neq 0 \end{array}$ S

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, BC=a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) bằng

\frac{a \sqrt{57}}{19}

\frac{a \sqrt{3}}{4}

\frac{a \sqrt{3}}{2}

\frac{2 a \sqrt{57}}{19}

Lời giải

Đáp án C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, BC=a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) bằng (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều $\Rightarrow S H ⊥ A B$ .

Ta có: ${\begin{cases} (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \supset S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Ta có: $A H \cap (S D B) \Rightarrow B \Rightarrow \frac{d (A; (S D B))}{d (H; (S D B))} = \frac{A B}{H B} = 2 \Rightarrow d (A; (S D B)) = 2 d (H; (S D B))$

Trong $(A B C D)$ kẻ $H M ⊥ B D (M \in B D)$ , trong $(S H M)$ kẻ $H K ⊥ S M (K \in S M)$

Ta có: ${\begin{cases} B D ⊥ H M \\ B D ⊥ SH (S H ⊥ (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S H M) \Rightarrow B D ⊥ H K$

${\begin{cases} H K ⊥ S M \\ H K ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow H K ⊥ (S D B) \Rightarrow d (H; (S D B)) = H K$

Trong (ABCD) kẻ $A E ⊥ B D (E \in B D) \Rightarrow A E // HM$

Ta có $A E = \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{2 a . a}{\sqrt{4 a^{2} + a^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Có HM là đường trung bình của tam giác ABE $\Rightarrow H M = \frac{1}{2} A E = \frac{a}{\sqrt{5}}$

Tam giác SAB đều cạnh $A B = 2 a \Rightarrow S H = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

Xét tam giác vuông SHM: $H K = \frac{S H . H M}{\sqrt{S H^{2} + H M^{2}}} = \frac{a \sqrt{3} . \frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{3 a^{2} + \frac{a^{2}}{5}}} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Vậy $d (A; (S D B)) = 2. \frac{a \sqrt{3}}{4} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 3

Cho hàm số y=f(x) và hàm số bậc ba y=g(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích phần gạch chéo được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $S = \int_{- 3}^{- 1} [f (x) - g (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [g (x) - f (x)] d x$

S | \int_{- 3}^{2} [f (x) - g (x)] d x |

S = \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [f (x) - g (x)] d x

S = \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [g (x) - f (x)] d x

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Biết rằng hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y = f (2 x - x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 5

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

(- 1; 1)

(- 3; + \infty)

(- \infty; 1)

(1; + \infty)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1), B(1;0;0) và mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 . Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) tại C sao cho CA=2CB. Mặt phẳng (Q) có phương trình là:

(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0

B. $(Q) : x + y + z = 0$ hoặc $(Q) : x + y + z - 2 = 0$

(Q) : x + y + z = 0

(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0

hoặc

(Q) : x + y + z = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (0; 0; 2), B (1; 1; 0)$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{1}{4}$ . Xét điểm M thay đổi thuộc . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A^{2} + 2 M B^{2}$ bằng:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Biết rằng hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y = f (2 x - x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực đại?