Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;2),B(1;1;0) và mặt cầu (S):x2+y2+(z−1)2=14 . Xét điểm M thay đổi thuộc . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2+2MB2 bằng: A. 12 B. 34 C. 214 D. 194

Đáp án D Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn IA→+2IB→=0→ Ta có {−a+2−2a=0−b+2−2b=02−c−2c=0⇔{a=23b=23c=23⇒I(23;23;23) Ta có: MA2+2MB2=(MI→+IA→)2+2(MI→+IB→)2 =MI2+2MI→.MA→+IA2+2MI2+4MI→.IB→+IB2 =3MI2+IA2+2IB2+2MI→(IA→+2IB→)⏟0=3MI2+IA2+2IB2⏟const=3MI2+IA2+2IB2+2MI→(IA→+2IB→)⏟0=3MI2+IA2+2IB2⏟const Do {IA2=(−23)2+(−23)2+(2−23)2=83IB2=(1−23)2+(1−23)2+(−23)2=23⇒IA2+2IB2=4 không đổi, nên (MA2+2MB2)min⇔MImin với I(23;23;23), M∈(S) . Ta có (23)2+(23)2+(23−1)2=1>14⇒Inằm ngoài (S) Khi đó MImin=IJ−R với J(0;0;1)là tâm mặt cầu, R=12 là bán kính mặt cầu. Ta có: IJ=(−23)2+(−23)2+(1−23)2=1⇒MImin=1−12=12 Vậy (MA2+2MB2)min=3MImin2+4=3.(12)2+4=194 .

Câu hỏi:

15/06/2022 3,403

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (0; 0; 2), B (1; 1; 0)$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{1}{4}$ . Xét điểm M thay đổi thuộc . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A^{2} + 2 M B^{2}$ bằng:

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

\frac{21}{4}

\frac{19}{4}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;2), B( 1;1;0) và mặt cầu (S): x^2+y^2+(z-1)^2=1/4 . Xét điểm M thay đổi thuộc (S) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA^2+2MB^2 bằng: (ảnh 1)

Gọi $I (a; b; c)$ là điểm thỏa mãn $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$

Ta có ${\begin{cases} - a + 2 - 2 a = 0 \\ - b + 2 - 2 b = 0 \\ 2 - c - 2 c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ b = \frac{2}{3} \\ c = \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow I (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$

Ta có: $M A^{2} + 2 M B^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}$

$= M I^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{M A} + I A^{2} + 2 M I^{2} + 4 \vec{M I} . \vec{I B} + I B^{2}$

$= 3 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} + 2 \vec{M I} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{I A} + 2 \vec{I B})}} = 3 M I^{2} + \underset{c o n s t}{\underset{⏟}{I A^{2} + 2 I B^{2}}} = 3 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} + 2 \vec{M I} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{I A} + 2 \vec{I B})}} = 3 M I^{2} + \underset{c o n s t}{\underset{⏟}{I A^{2} + 2 I B^{2}}}$

Do ${\begin{cases} I A^{2} = {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(2 - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{8}{3} \\ I B^{2} = {(1 - \frac{2}{3})}^{2} + {(1 - \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow I A^{2} + 2 I B^{2} = 4$ không đổi, nên ${(M A^{2} + 2 M B^{2})}_{\min} \Leftrightarrow M I_{\min}$

với $I (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}), M \in (S)$ .

Ta có ${(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3} - 1)}^{2} = 1 > \frac{1}{4} \Rightarrow I$ nằm ngoài (S)

Khi đó $M I_{\min} = I J - R$ với $J (0; 0; 1)$ là tâm mặt cầu, $R = \frac{1}{2}$ là bán kính mặt cầu.

Ta có: $IJ = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(1 - \frac{2}{3})}^{2}} = 1 \Rightarrow M I_{\min} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Vậy ${(M A^{2} + 2 M B^{2})}_{\min} = 3 M I_{\min}^{2} + 4 = 3. {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 = \frac{19}{4}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Lời giải

Đáp án B

. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f(2+f(e^x))=1 là: (ảnh 2)

Số nghiệm của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (2 + f (e^{x}))$ và đường thẳng .

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$f (2 + f (e^{x})) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 + f (e^{x}) = - 1 \\ 2 + f (e^{x}) = x_{0} \in (2; 3) \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (e^{x}) = - 3 \\ f (e^{x}) = x_{0} - 2 \in (0; 1) \end{array}$

Tương tự ta có: $f (e^{x}) = - 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} e^{x} = 1 \\ e^{x} = x_{1} < - 1 (vo nghiem) \end{array} \Leftrightarrow x = 0$ .

$f (e^{x}) = x_{0} - 2 \in (0; 1) \Rightarrow$ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0

$\Rightarrow [\begin{array}{l} e^{x} = a < 0 (vo nghiem) \\ e^{x} = b < 0 (vo nghiem) \\ e^{x} = c > 0 \Leftrightarrow x = \ln c \neq 0 \end{array}$ S

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 2

Cho hàm số y=f(x) và hàm số bậc ba y=g(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích phần gạch chéo được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $S = \int_{- 3}^{- 1} [f (x) - g (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [g (x) - f (x)] d x$

S | \int_{- 3}^{2} [f (x) - g (x)] d x |

S = \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [f (x) - g (x)] d x

S = \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [g (x) - f (x)] d x

Lời giải

Đáp án C

Ta có: $S = \int_{- 3}^{2} | f (x) - g (x) | d x = \int_{- 3}^{- 1} | f (x) - g (x) | d x + \int_{- 1}^{2} | f (x) - g (x) | d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [f (x) - g (x)] d x$ .

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Biết rằng hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y = f (2 x - x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 5

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, BC=a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) bằng

\frac{a \sqrt{57}}{19}

\frac{a \sqrt{3}}{4}

\frac{a \sqrt{3}}{2}

\frac{2 a \sqrt{57}}{19}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1), B(1;0;0) và mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 . Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) tại C sao cho CA=2CB. Mặt phẳng (Q) có phương trình là:

(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0

B. $(Q) : x + y + z = 0$ hoặc $(Q) : x + y + z - 2 = 0$

(Q) : x + y + z = 0

(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0

hoặc

(Q) : x + y + z = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

(- 1; 1)

(- 3; + \infty)

(- \infty; 1)

(1; + \infty)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;2),B(1;1;0) và mặt cầu (S):x2+y2+(z−1)2=14 . Xét điểm M thay đổi thuộc . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2+2MB2 bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f(2+f(ex))=1 là:

Cho hàm số y=f(x) và hàm số bậc ba y=g(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích phần gạch chéo được tính bởi công thức nào sau đây?

Cho hàm số y=f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e . Biết rằng hàm số y=f'(x) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y=f(2x−x2) có bao nhiêu điểm cực đại?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, BC=a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1), B(1;0;0) và mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 . Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) tại C sao cho CA=2CB. Mặt phẳng (Q) có phương trình là:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (0; 0; 2), B (1; 1; 0)$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{1}{4}$ . Xét điểm M thay đổi thuộc . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A^{2} + 2 M B^{2}$ bằng:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Biết rằng hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y = f (2 x - x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực đại?