Cho hàm số y=f(x) và hàm số bậc ba y=g(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích phần gạch chéo được tính bởi công thức nào sau đây?

Đáp án B

Số nghiệm của phương trình $f\left(2+f\left(e^x\right)\right)=1$  là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(2+f\left(e^x\right)\right)$  và đường thẳng .

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$f\left(2+f\left(e^x\right)\right)=1\iff [\begin{array}{l}2+f\left(e^x\right)=-1\\ 2+f\left(e^x\right)=x_0\in (2;3)\end{array}$ 

$\iff [\begin{array}{l}f\left(e^x\right)=-3\\ f\left(e^x\right)=x_0-2\in (0;1)\end{array}$

Tương tự ta có: $f\left(e^x\right)=-3\iff [\begin{array}{l}{e}^x=1\\ e^x=x_1<-1\left(\text{vo nghiem}\right)\end{array}\iff x=0$  .

 $f\left(e^x\right)=x_0-2\in (0;1)\Rightarrow$Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0

$\Rightarrow [\begin{array}{l}{e}^x=a<0\left(\text{vo nghiem}\right)\\ e^x=b<0\left(\text{vo nghiem}\right)\\ e^x=c>0\iff x=\ln c\ne 0\end{array}$S

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều $\Rightarrow SH\perp AB$ .

Ta có:  $\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\text{D}\right)=AB\\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\text{D}\right)\\ \left(SAB\right)\supset SH\perp AB\end{array}\Rightarrow SH\perp \left(ABC\text{D}\right)$

 Ta có: $AH\cap \left(S\text{D}B\right)\Rightarrow B\Rightarrow \frac{d\left(A;\left(S\text{D}B\right)\right)}{d\left(H;\left(S\text{D}B\right)\right)}=\frac{AB}{HB}=2\Rightarrow d\left(A;\left(S\text{D}B\right)\right)=2\text{d}\left(H;\left(S\text{D}B\right)\right)$

Trong $\left(ABC\text{D}\right)$  kẻ $HM\perp B\text{D }(M\in B\text{D})$ , trong $\left(SHM\right)$  kẻ $HK\perp SM(K\in SM)$

Ta có: $\{\begin{array}{l}B\text{D}\perp HM\\ B\text{D}\perp \text{SH }\left(SH\perp \left(ABC\text{D}\right)\right)\end{array}\Rightarrow B\text{D}\perp \left(SHM\right)\Rightarrow B\text{D}\perp HK$

$\{\begin{array}{l}HK\perp SM\\ HK\perp B\text{D}\end{array}\Rightarrow HK\perp \left(S\text{D}B\right)\Rightarrow d\left(H;\left(S\text{D}B\right)\right)=HK$

Trong (ABCD) kẻ $A\text{E}\perp B\text{D }(E\in B\text{D})\Rightarrow A\text{E // HM}$

Ta có $A\text{E}=\frac{AB.A\text{D}}{\sqrt{A{B}^2+A{\text{D}}^2}}=\frac{2\text{a}.a}{\sqrt{4{\text{a}}^2+a^2}}=\frac{2\text{a}}{\sqrt{5}}$

Có HM là đường trung bình của tam giác ABE $\Rightarrow HM=\frac{1}{2}A\text{E}=\frac{a}{\sqrt{5}}$

Tam giác SAB đều cạnh $AB=2\text{a}\Rightarrow SH=\frac{2\text{a}\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Xét tam giác vuông SHM: $HK=\frac{SH.HM}{\sqrt{S{H}^2+H{M}^2}}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{3{\text{a}}^2+\frac{a^2}{5}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Vậy $d\left(A;\left(S\text{D}B\right)\right)=2.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .