Câu hỏi:

16/06/2022 2,327

Cho khối chóp S.ABC có $S A = S B = S C = a$ , $\hat{A S B} = 60 °, \hat{B S C} = 90 °, \hat{A S C} = 120 °$ . Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho $\frac{C N}{S C} = \frac{A M}{A B}$ . Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S.AMN.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{72}

\frac{5 \sqrt{2} a^{3}}{72}

C. $\frac{5 \sqrt{2} a^{3}}{432}$

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{432}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Cho khối chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, góc ASB=60 độ, góc BSC= 90 độ, Góc ASC=120 độ. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho CN/SC=AM/AB . Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S.AMN. (ảnh 1)

Ta có thể tích khối chóp S.ABC là

$V_{0} = \frac{a^{3}}{6} \sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12}$ .

Đặt $\frac{C N}{S C} = \frac{A M}{A B} = m$ (với $0 \leq m \leq 1$ ).

Ta có: $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}, | \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = a$ ,

$\vec{a} . \vec{b} = \frac{a^{2}}{2}, \vec{b} . \vec{c} = 0, \vec{a} . \vec{c} = - \frac{a^{2}}{2}$ .

Theo đẳng thức trên ta có đẳng thức véctơ $\vec{S N} = (1 - m) \vec{c}$ , $\vec{S M} = \vec{S A} + \vec{A M} = \vec{a} + m \vec{A B} = \vec{a} + m (\vec{b} - \vec{a})$

$\Rightarrow \vec{M N} = \vec{S N} - \vec{S M} = (1 - m) \vec{c} - [\vec{a} + m (\vec{b} - \vec{a})] = (m - 1) \vec{a} - m \vec{b} + (1 - m) \vec{c}$ .

Do đó $M N^{2} = {[(m - 1) \vec{a} - m \vec{b} + (1 - m) \vec{c}]}^{2} = (3 m^{2} - 5 m + 3) a^{2} \geq \frac{11 a^{2}}{12}$ .

Dấu “=” xảy ra tại $m = \frac{5}{6}$

$\Rightarrow V = \frac{S N}{S C} . V_{S . A B C} = \frac{S N}{S C} . \frac{A M}{A B} V_{0} = m (1 - m) V_{0} = \frac{5}{6} . \frac{1}{6} . \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{2} a^{3}}{432}$ .

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 3}$ và cho mặt phẳng $(P) : x + y + z - 4 = 0$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. d cắt

(P)

d // (P)

d \subset (P)

d ⊥ (P)

Lời giải

Đáp án C

Đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 3}$ đi qua $M (1; 1; 2)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; - 3)$ .

Mặt phẳng $(P) : x + y + z - 4 = 0$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; 1)$

Ta thấy $\vec{u} . \vec{n} = 1.1 + 2.1 + 1. (- 3) = 0$ (1)

Thay tọa độ điểm $M (1; 1; 2)$ vào mặt phẳng (P) ta được $1 + 1 + 2 - 4 = 0 \to M \in (P)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $d \subset (P)$ .

Câu 2

Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1}$ là

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Lời giải

Đáp án C

TXĐ: $x \geq 3; x \neq 1; x \neq 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x + 3} - 2) (\sqrt{x + 3} + 2)}{(\sqrt{x + 3} + 2) (x - 1) (x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(\sqrt{x + 3} + 2) (x - 1) (x + 1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{(\sqrt{x + 3} + 2) (x + 1)} = \frac{1}{8} \neq + \infty$ nên không là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

$\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1} = - \infty$ nên $x = - 1$ là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng .

Câu 3

Cho hàm số f(x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^{2} (\cos x) + (m - 2018) f (\cos x) + m - 2019 = 0$ có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[0; 2 π]$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng $d : y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{4 x - m^{2}}{x - 1}$ tại đúng một điểm. Tích phân các phần tử của S bằng.

\sqrt{5}

B. 4

C. 5

D. 20

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 2 (m^{2} - 1) x - m^{3} - m$ (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $I (2; - 2)$ . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{5}$ là

\frac{20}{17}

- \frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{14}{17}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;2;3), N(2;-3;1), P(3;1;2) . Tìm tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành.

Q (2; - 6; 4)

Q (4; - 4; 0)

Q (2; 6; 4)

Q (- 4; - 4; 0)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x$ có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn điều kiện để phương trình $4 | x^{3} | - 3 x^{2} - 6 | x | = m^{2} - 6 m$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

A. m=0 hoặc m=-6

B. m<0 hoặc m>6

C. 0<m<3

D. 1<m<6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 3}$ và cho mặt phẳng $(P) : x + y + z - 4 = 0$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1}$ là

Cho hàm số f(x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^{2} (\cos x) + (m - 2018) f (\cos x) + m - 2019 = 0$ có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[0; 2 π]$ là

Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng $d : y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{4 x - m^{2}}{x - 1}$ tại đúng một điểm. Tích phân các phần tử của S bằng.

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x$ có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn điều kiện để phương trình $4 | x^{3} | - 3 x^{2} - 6 | x | = m^{2} - 6 m$ có đúng ba nghiệm phân biệt là