Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $F=\frac{x+y-z}{x+y+z}$  bằng bao nhiêu, biết rằng x, y, z là các số thực thỏa mãn ${\log }_{16}\left(\frac{x+y+z}{2x^2+2y^2+2z^2+1}\right)=x(x-2)+y(y-2)+z(z-2)$

Đáp án B

Ta có: ${\log }_{16}\left(\frac{x+y+z}{2x^2+2y^2+2z^2+1}\right)=x(x-2)+y(y-2)+z(z-2)$

$\iff {\log }_{16}(x+y+z)+2(x+y+z)={\log }_{16}(2x^2+2y^2+2z^2+1)+(2x^2+2y^2+2z^2+1)$

$\iff {\log }_{4}4(x+y+z)+4(x+y+z)={\log }_4(2x^2+2y^2+2z^2+1)+(2x^2+2y^2+2z^2+1)$

Xét hàm số: $f\left(t\right)={\log }_{4}t+t(t>0)$ .

Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

Suy ra: $f\left(4(x+y+z)\right)=f(2x^2+2y^2+2z^2+1)$

$\Rightarrow 4(x+y+z)=2x^2+2y^2+2z^2+1\iff x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+\frac{1}{2}=0\left(S\right)$.

Ta có mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính là: $I(1;1;1),R=\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

Ta có: $F=\frac{x+y-z}{x+y+z}\iff (F-1)x+(F-1)y+(F+1)z=0\left(P\right)$  .

Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung điều kiện cần và đủ là

$d(I,\left(P\right))\le R\iff \frac{|F-1+F-1+F+1|}{\sqrt{2{(F-1)}^2+{(F+1)}^2}}\le \frac{\sqrt{10}}{2}$.

$\iff 3F^2-2F-13\le 0\iff \frac{1-2\sqrt{10}}{3}\le F\le \frac{1+2\sqrt{10}}{3}$

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $F=\frac{x+y-z}{x+y+z}$  bằng  $\frac{2}{3}$.