Cho $b\ge -\frac{1}{2}$và $\frac{b}{a}>1$. Chứng minh rằng $\frac{2b^3+1}{4a\left(b-a\right)}\ge 3$.

Chọn đáp án C

Ta có: $\frac{3x^2-2x-5}{{\left(x-1\right)}^2}\le 0$ (1)

ĐKXĐ: x $\ne$1

Vì ${\left(x-1\right)}^2>0$ với mọi x $\ne$1

Nên BPT (1)$\iff 3x^2-2x-5\le 0$ $\iff -1\le x\le \frac{5}{3}$

Kết hợp điều kiện, Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là S = $\left[-1;1\right)\cup \left(1;\frac{5}{3}\right]$.

2) Cho 2 điểm A(-1; 1), B(3; 7) và đường thẳng d có phương trình: $x+2y+1=0$. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABD bằng 50.

Do $S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.d_{\left(D;AB\right)}$  

Trong đó $D\in d\Rightarrow D\left(-1-2a;a\right)$

Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}\left(4;6\right)$và đi qua A(-1;1)

$\Rightarrow$phương trình của đường thẳng AB là $3x-2y+5=0$

$\Rightarrow d_{\left(D;AB\right)}=\frac{\left|-8a+2\right|}{\sqrt{13}}$; $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{52}$, $S_{\Delta ABD}=50$  

Ta có $50=\frac{1}{2}.\sqrt{52}.\frac{\left|-8a+2\right|}{\sqrt{13}}\iff \left|-8a+2\right|=50\iff \left[\begin{array}{l}a=-6\\ a=\frac{13}{2}\end{array}\right.$   

Với $a=-6\Rightarrow D(11;-6)$

Với $a=\frac{13}{2}\Rightarrow D\left(-14;\frac{13}{2}\right)$