Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; -1; -6) và đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+11}{-6}.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M(5; 1; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A vuông góc với đường thẳng d là:

$2\left(x-0\right)+1\left(y+1\right)-6\left(z+6\right)=0\iff 2x+y-6z-35=0.$

Phương trình tham số của $d:\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=2+t\\ z=-11-6t\end{array}\right..$ Thay vào phương trình mặt phẳng (Q) ta được:

     $2\left(4+2t\right)+\left(2+t\right)-6\left(-11-6t\right)-35=0\iff 41t=-41\iff t=-1.$

Vậy tọa độ hình chiếu của A trên d là $B\left(2;1;-5\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left(2;2;1\right).$

Gọi H là hình chiếu của A trên (P) khi đó $AH\le AB$. Khoảng cách lớn nhất từ A đến mặt phẳng (P) bằng AB hay $\overrightarrow{AB}$ là một véc tơ phép tuyến của mặt phẳng (P)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

$2\left(x-2\right)+2\left(y-1\right)+1\left(z+5\right)=0\iff 2x+2y+z-1=0.$

                                         $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.5+2.1+1.1-1\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=4.$

Chọn C.