Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+m.$ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-10;10\right]$ sao cho

$\underset{\left[1;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{\left[1;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 10.$ Số phần tử của S bằng

Xét hàm f(x)

TXĐ: $D=ℝ.$

Có: $f\text{'}\left(x\right)=4x^2-4x;f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\notin \left[1;2\right]\\ x=1\in \left[1;2\right]\\ x=-1\notin \left[1;2\right]\end{array}\right.$

$f\left(1\right)=m-1;f\left(2\right)=m+8.$

Có $f\left(2\right)>f\left(1\right)\Rightarrow \underset{x\in \left[1;2\right]}{Max}f\left(x\right)=f\left(2\right)=m+8;\underset{x\in \left[1;2\right]}{Min}f\left(x\right)=f\left(1\right)=m-1.$

TH1: $\underset{x\in \left[1;2\right]}{Max}\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(2\right)\right|=\left|m+8\right|=m+8;\underset{x\in \left[1;2\right]}{Min}\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(1\right)\right|=\left|m-1\right|=m-1$

$\Rightarrow \underset{x\in \left[1;2\right]}{Max}\left|f\left(x\right)\right|+\underset{x\in \left[1;2\right]}{Min}\left|f\left(x\right)\right|\ge 10\iff m+8+m-1\ge 10\iff m\ge \frac{3}{2}.$

Kết hợp với $m\ge 1$ ta được $m\ge \frac{3}{2}.$

TH2: $m+8\le 0\iff m\le -8.$

Khi đó: $\underset{x\in \left[1;2\right]}{Max}\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(1\right)\right|=\left|m-1\right|=1-m;\underset{x\in \left[1;2\right]}{Min}\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(2\right)\right|=\left|m+8\right|=-m-8$

$\Rightarrow \underset{x\in \left[1;2\right]}{Max}\left|f\left(x\right)\right|+\underset{x\in \left[1;2\right]}{Min}\left|f\left(x\right)\right|\ge 10\iff -7-2m\ge 10\iff m\le -\frac{17}{2}.$

Kết hợp với $m\le -8$ ta được $m\le -\frac{17}{2}.$

TH3: $m-1<0<m+8\iff -8<m<1$

Khi đó: $\underset{x\in \left[1;2\right]}{Max}\left|f\left(x\right)\right|=Max\left\{\left|m-1\right|;\left|m+8\right|\right\};\underset{x\in \left[1;2\right]}{Min}\left|f\left(x\right)\right|=0$

$\Rightarrow \underset{x\in \left[1;2\right]}{Max}\left|f\left(x\right)\right|+\underset{x\in \left[1;2\right]}{Min}\left|f\left(x\right)\right|\ge 10\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left|m+8\right|\ge 10\\ \left|m+8\right|\ge \left|m-1\right|\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\left|m-1\right|\ge 10\\ \left|m+8\right|<\left|m-1\right|\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m\ge 2\\ m\le -18\end{array}\right.\\ m\ge -\frac{63}{18}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m\ge 11\\ m\le -9\end{array}\right.\\ m<-\frac{63}{18}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 2\\ m\le -9\end{array}\right.$

Kết hợp với -8 < m < 1 ta được $m\in \varnothing .$

Từ 3 trường hợp trên kết hợp với điều kiện $m\in \left[-10;10\right]$ ta được $m\in \left[-10;-\frac{17}{2}\right]\cup \left[\frac{3}{2};10\right].$

Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là $m\in \left\{-10;-9;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}$.

Do đó có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Chọn D.