Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP. (ảnh 1)

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN // AC nên: $(\hat{MN, AP}) = (\hat{AC, AP})$

Vì ${ΔA}^{'} D^{'} P$ vuông tại D' nên $A^{'} P = \sqrt{A^{'} {D^{'}}^{2} + D^{'} P^{2}}$ $= \sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}$ $= \frac{a \sqrt{5}}{2}$

${ΔAA}^{'} P$ vuông tại A' nên $AP = \sqrt{A^{'} A^{2} + A^{'} P^{2}}$ $= \sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}}$ $= \frac{3 a}{2}$

${ΔCC}^{'} P$ vuông tại C' nên $CP = \sqrt{C {C^{'}}^{2} + C^{'} P^{2}}$ $= \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$ $= \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên $AC = a \sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:

${CP}^{2} = {AC}^{2} + {AP}^{2} - 2 AC . AP . \cos \hat{CAP}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \hat{CAP} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \hat{CAP} = 45 ° < 90 ° \end{array}$

Vậy $(\hat{AC; AP}) = \hat{CAP} = 45 °$ hay $(\hat{MN; AP}) = 45 °$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a. Tính tích vô hướng $\vec{AB} . \vec{CD}$ :

A. 4a².

B. 2a².

C. –2a².

D. 0.

Lời giải

Ta có $\vec{AB} . \vec{CD} = \vec{AB} . (\vec{BD} - \vec{BC})$ $= \vec{AB} . \vec{BD} - \vec{AB} .$ $\vec{BC} = - \vec{BA} . \vec{BD} + \vec{BA} . \vec{BC}$