Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin \mathrm{x} \mathrm{khi} \mathrm{cosx}\ge 0\\ 1+\cos \mathrm{x} \mathrm{khi} \mathrm{cosx}<0\end{array}\right.$. Chỉ ra các điểm gián đoạn của hàm số trên khoảng (0; 2021)?

Xét hàm số f(x) trên đoạn $\left[0;2\mathrm{\pi }\right]$, khi đó:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{sinx}\mathrm{khi}\mathrm{x}\in \left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]\cup \left[\frac{3\mathrm{\pi }}{2};2\mathrm{\pi }\right]\\ 1+\mathrm{cosx}\mathrm{khi}\mathrm{x}\in \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)\end{array}\right.$

Ta có $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0=\mathrm{f}\left(0\right)$; $\underset{\mathrm{x}\to 2{\mathrm{\pi }}^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0=\mathrm{f}\left(2\mathrm{\pi }\right)$.

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$; $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)$ và $\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2};2\mathrm{\pi }\right]$.

Ta xét tại $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$:

$\underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{+}}{\lim }\left(1+\mathrm{cosx}\right)=1$;$\underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{+}}{\lim }\left(1+\mathrm{cosx}\right)=1$; $\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=1$

 Như vậy $\underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$$=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Ta xét tại $x=\frac{3\pi }{2}$ :

$\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\sin x=-1$ ; $\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(1+\cos x\right)=1$; 

Vì $\underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne \underset{\mathrm{x}\to {\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm $\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

Do đó, trên đoạn $\left[0;2\mathrm{\pi }\right]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

Do tính chất tuần hoàn của hàm số y = cosx và y = sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }$$,\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Ta có $\mathrm{x}\in \left(0;2021\right)$$\iff 0<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }<2021$$\iff -\frac{3}{4}<\mathrm{k}<\frac{2021}{2\mathrm{\pi }}-\frac{3}{4}\approx 320.902$

Vì  $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $\mathrm{k}\in \left\{0,1,2,....,320\right\}$

Vậy, hàm số f gián đoạn tại các điểm $\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }$ với $\mathrm{k}\in \left\{0,1,2,....,320\right\}$.