Cho hàm số fx=sin x khi cosx≥01+cos x khi cosx<0. Chỉ ra các điểm gián đoạn của hàm số trên khoảng (0; 2021)?

Xét hàm số f(x) trên đoạn 0;2π, khi đó: fx=sinx khi x∈0;π2∪3π2;2π1+cosx khi x∈π2;3π2 Ta có limx→0+fx=0=f0; limx→2π−fx=0=f2π. Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng 0;π2; π2;3π2 và 3π2;2π. Ta xét tại x=π2: limx→π2+fx=limx→π2+1+cosx=1;limx→π2+fx=limx→π2+1+cosx=1; fπ2=1 Như vậy limx→π2−fx=limx→π2+fx=fπ2 nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x=π2 Ta xét tại x=3π2 : limx→3π2+fx=limx→3π2+sinx=−1 ; limx→3π2−fx=limx→3π2−1+cosx=1; Vì limx→3π2−fx≠limx→3π2+fx nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x=3π2 Do đó, trên đoạn 0;2π hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x=3π2 Do tính chất tuần hoàn của hàm số y = cosx và y = sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm x=3π2+k2π,k∈ℤ Ta có x∈0;2021⇔0<3π2+k2π<2021⇔−34<k<20212π−34≈320.902 Vì k∈ℤ nên k∈0,1,2,....,320 Vậy, hàm số f gián đoạn tại các điểm x=3π2+k2π với k∈0,1,2,....,320.

Câu hỏi:

13/07/2024 3,557

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sin x khi cosx \geq 0 \\ 1 + \cos x khi cosx < 0 \end{cases}$ . Chỉ ra các điểm gián đoạn của hàm số trên khoảng (0; 2021)?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét hàm số f(x) trên đoạn $[0; 2 π]$ , khi đó:

$f (x) = \{\begin{cases} sinx khi x \in [0; \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}; 2 π] \\ 1 + cosx khi x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \end{cases}$

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0 = f (0)$ ; $\lim_{x \to 2 π^{-}} f (x) = 0 = f (2 π)$ .

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $[0; \frac{π}{2})$ ; $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ và $(\frac{3 π}{2}; 2 π]$ .

Ta xét tại $x = \frac{π}{2}$ :

$\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (1 + cosx) = 1$ ; $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (1 + cosx) = 1$ ; $f (\frac{π}{2}) = 1$

Như vậy $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x)$ $= f (\frac{π}{2})$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x = \frac{π}{2}$

Ta xét tại $x = \frac{3 π}{2}$ :

$\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} \sin x = - 1$ ; $\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} (1 + \cos x) = 1$ ;

Vì $\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} f (x)$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$

Do đó, trên đoạn $[0; 2 π]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$

Do tính chất tuần hoàn của hàm số y = cosx và y = sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x = \frac{3 π}{2} + k 2 π$ $, k \in ℤ$

Ta có $x \in (0; 2021)$ $\Leftrightarrow 0 < \frac{3 π}{2} + k 2 π < 2021$ $\Leftrightarrow - \frac{3}{4} < k < \frac{2021}{2 π} - \frac{3}{4} \approx 320 .902$

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{0,1,2,....,320\}$

Vậy, hàm số f gián đoạn tại các điểm $x = \frac{3 π}{2} + k 2 π$ với $k \in \{0,1,2,....,320\}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a. Tính tích vô hướng $\vec{AB} . \vec{CD}$ :

A. 4a².

B. 2a².

C. –2a².

D. 0.

Lời giải

Ta có $\vec{AB} . \vec{CD} = \vec{AB} . (\vec{BD} - \vec{BC})$ $= \vec{AB} . \vec{BD} - \vec{AB} .$ $\vec{BC} = - \vec{BA} . \vec{BD} + \vec{BA} . \vec{BC}$