A. Các câu hỏi trong bài

Bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài 20 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau.

Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1a).

 Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 4 = a . 2² + b . 2 + 1

⇔ 4a + 2b = 3       (2a).

Thay (1a) vào (2a) ta được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b = \( - \frac{7}{2}\).

Suy ra: a = – 1 \( - \left( { - \frac{7}{2}} \right) = \frac{5}{2}\).

Vậy ta có parabol: \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\).

b) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1b).

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\)    (2b).

Thay (1b) vào (2b) ta có: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.

Suy ra: a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1.

c) Parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; 2).

Do đó: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\) và 2 = a . 1² + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b.

Suy ra: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

Khi đó: a = 1 – 2 = – 1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1.

d) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = a² – 4 . a . 1 = a² – 4a.

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 4a}}{{4a}} = 0,25\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a\left( {a - 4} \right)}}{{4a}} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{{a - 4}}{4} = \frac{1}{4}\)          (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.

Do đó: a = b = 5.

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1.

Hướng dẫn giải

a) y = x² – 3x + 2

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² – 3x + 2 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 2).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0, tức là x = 2 và x = 1;

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\) là B(3; 2).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

b) y = – 2x² + 2x + 3

Ta có: a = – 2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – 2x² + 2x + 3 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 3).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – 2x² + 2x + 3 = 0, tức là x = \(\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\) và x = \(\frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\);

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

c) y = x² + 2x + 1

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² + 2x + 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I(– 1; 0)

+ Trục đối xứng x = – 1;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 1).

+ Lấy điểm C(1; 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

d) y = – x² + x – 1

Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – x² + x – 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; – 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; – 1).

+ Lấy điểm C(2; – 3) thuộc parabol, điểm đối xứng với điểm C qua trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$ là D(– 1; – 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.