Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Hướng dẫn giải

Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng là một parabol, giả sử parabol này có phương trình là y = ax² + bx + c với a ≠ 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với Oy là trục đối xứng của cổng parabol:

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m.

O là trung điểm của AB nên AO = OB = 4 m.

Lấy điểm C cách A một khoảng 0,5 m, vì chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m nên CD = 2,93 m.

Ta có: CO = AO – AC = 4 – 0,5 = 3,5 m.

Do đó ta có tọa độ các điểm là: A(– 4; 0), B(4; 0), C(– 3,5; 0), D(– 3,5; 2,93).

Ta thấy parabol đi qua các điểm A, B, D nên phương trình y = ax² + bx + c thỏa mãn tọa độ các điểm A, B, D, do đó ta có:

0 = a . (– 4)² + b . (– 4) + c ⇔ 16a – 4b + c = 0       (1)

0 = a . 4² + b . 4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 0                  (2)

2,93 = a . (– 3,5)² + b . (– 3,5) + c = 0 ⇔ 12,25a – 3,5b + c = 2,93          (3)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 8b = 0 ⇔ b = 0 thay vào (1) và (3) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}16a + c = 0\\12,25a + c = 2,93\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 293}}{{375}}\\c = \frac{{4688}}{{375}}\end{array} \right.\)

Do đó phương trình parabol: \(y = \frac{{ - 293}}{{375}}{x^2} + \frac{{4688}}{{375}}\).

Tọa độ đỉnh I\(\left( {0;\,\frac{{4688}}{{375}}} \right)\).

Chiều cao của cổng parabol chính là tung độ đỉnh I và bằng \(\frac{{4688}}{{375}} \approx 12,5\)m.

Vậy kết quả của bạn An tính ra là không chính xác.