Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1a).

 Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 4 = a . 2² + b . 2 + 1

⇔ 4a + 2b = 3       (2a).

Thay (1a) vào (2a) ta được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b = \( - \frac{7}{2}\).

Suy ra: a = – 1 \( - \left( { - \frac{7}{2}} \right) = \frac{5}{2}\).

Vậy ta có parabol: \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\).

b) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1b).

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\)    (2b).

Thay (1b) vào (2b) ta có: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.

Suy ra: a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1.

c) Parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; 2).

Do đó: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\) và 2 = a . 1² + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b.

Suy ra: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

Khi đó: a = 1 – 2 = – 1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1.

d) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = a² – 4 . a . 1 = a² – 4a.

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 4a}}{{4a}} = 0,25\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a\left( {a - 4} \right)}}{{4a}} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{{a - 4}}{4} = \frac{1}{4}\)          (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.

Do đó: a = b = 5.

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1.

Hướng dẫn giải

a) y = x² – 3x + 2

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² – 3x + 2 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 2).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0, tức là x = 2 và x = 1;

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\) là B(3; 2).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

b) y = – 2x² + 2x + 3

Ta có: a = – 2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – 2x² + 2x + 3 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 3).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – 2x² + 2x + 3 = 0, tức là x = \(\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\) và x = \(\frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\);

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

c) y = x² + 2x + 1

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² + 2x + 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I(– 1; 0)

+ Trục đối xứng x = – 1;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 1).

+ Lấy điểm C(1; 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

d) y = – x² + x – 1

Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – x² + x – 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; – 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; – 1).

+ Lấy điểm C(2; – 3) thuộc parabol, điểm đối xứng với điểm C qua trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$ là D(– 1; – 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.