Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1a).

 Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 4 = a . 2² + b . 2 + 1

⇔ 4a + 2b = 3       (2a).

Thay (1a) vào (2a) ta được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b = \( - \frac{7}{2}\).

Suy ra: a = – 1 \( - \left( { - \frac{7}{2}} \right) = \frac{5}{2}\).

Vậy ta có parabol: \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\).

b) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1b).

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\)    (2b).

Thay (1b) vào (2b) ta có: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.

Suy ra: a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1.

c) Parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; 2).

Do đó: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\) và 2 = a . 1² + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b.

Suy ra: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

Khi đó: a = 1 – 2 = – 1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1.

d) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = a² – 4 . a . 1 = a² – 4a.

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 4a}}{{4a}} = 0,25\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a\left( {a - 4} \right)}}{{4a}} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{{a - 4}}{4} = \frac{1}{4}\)          (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.

Do đó: a = b = 5.

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1.

Hướng dẫn giải

a) Bác Hùng dùng lưới để rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng x (mét) như sau:

Vì tấm lưới dài 40 m, hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là 40 m.

Suy ra nửa chu vi của mảnh vườn là 40 : 2 = 20 m.

Do đó chiều dài của mảnh vườn rào được theo chiều rộng x (mét) là: 20 – x (m).

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) là:

S(x) = x . (20 – x) = – x² + 20x (m²).

b) Để tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình chữ nhật bác Hùng có thể rào được, ta tính giá trị lớn nhất của hàm số S(x), đây là hàm số bậc hai.

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai S(x) = – x² + 20x là I(10; 100).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số S(x) là S =100 tại x = 10.

Suy ra chiều dài khi chiều rộng x = 10 m là 20 – 10 = 10 (m).

Vậy để mảnh vườn rào được có diện tích lớn nhất thì bác Hùng nên rào lưới thép gai thành hình vuông có độ dài cạnh là 10 m.