Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức: h = 19,6 – 4,9t²; h, t ≥ 0.

a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất?

b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1a).

 Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 4 = a . 2² + b . 2 + 1

⇔ 4a + 2b = 3       (2a).

Thay (1a) vào (2a) ta được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b = \( - \frac{7}{2}\).

Suy ra: a = – 1 \( - \left( { - \frac{7}{2}} \right) = \frac{5}{2}\).

Vậy ta có parabol: \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\).

b) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1b).

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\)    (2b).

Thay (1b) vào (2b) ta có: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.

Suy ra: a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1.

c) Parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; 2).

Do đó: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\) và 2 = a . 1² + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b.

Suy ra: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

Khi đó: a = 1 – 2 = – 1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1.

d) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = a² – 4 . a . 1 = a² – 4a.

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 4a}}{{4a}} = 0,25\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a\left( {a - 4} \right)}}{{4a}} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{{a - 4}}{4} = \frac{1}{4}\)          (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.

Do đó: a = b = 5.

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1.

Hướng dẫn giải

a) y = x² – 3x + 2

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² – 3x + 2 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 2).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0, tức là x = 2 và x = 1;

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\) là B(3; 2).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

b) y = – 2x² + 2x + 3

Ta có: a = – 2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – 2x² + 2x + 3 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 3).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – 2x² + 2x + 3 = 0, tức là x = \(\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\) và x = \(\frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\);

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

c) y = x² + 2x + 1

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² + 2x + 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I(– 1; 0)

+ Trục đối xứng x = – 1;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 1).

+ Lấy điểm C(1; 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

d) y = – x² + x – 1

Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – x² + x – 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; – 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; – 1).

+ Lấy điểm C(2; – 3) thuộc parabol, điểm đối xứng với điểm C qua trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$ là D(– 1; – 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.