Nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp.

• Trường hợp a > 0

∆	∆ < 0	∆ = 0	∆ > 0
Dạng đồ thị
Vị trí của đồ thị so với trục Ox	Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục Ox.	Đồ thị nằm phía trên trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x = - \frac{b}{{2a}}\).	- Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi x < x1 hoặc x > x2. - Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi x1 < x < x2.

 

• Trường hợp a < 0

∆	∆ < 0	∆ = 0	∆ > 0
Dạng đồ thị
Vị trí của đồ thị so với trục Ox	?	?	?

Hướng dẫn giải

Ta có tam thức f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có ∆ = (m + 1)² – 4 . 1 . (2m + 3) = m² + 2m + 1 – 8m – 12 = m² – 6m – 11.

Lại có hệ số a = 1 > 0.

Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì ∆ < 0.

⇔ m² – 6m – 11 < 0.

Xét tam thức h(m) = m² – 6m – 11 có ∆'_m = (– 3)² – 1 . (– 11) = 20 > 0 nên h(m) có hai nghiệm m₁ = \(3 - \sqrt {20} = 3 - 2\sqrt 5 \) và m₂ = \(3 + \sqrt {20} = 3 + 2\sqrt 5 \).

Mặt khác ta có hệ số a_m = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Do đó, h(m) < 0 với mọi m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\).

Hay ∆ < 0 với mọi m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\).

Vậy m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\) thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Độ cao của vật so với mặt đất được mô tả bởi công thức

h(t) = h₀ + v₀t – $\frac{1}{2}$gt²,

trong đó v0 = 20 m/s là vận tốc ban đầu của vật, t là thời gian chuyển động tính bằng giây, g là gia tốc trọng trường (thường lấy g ≈ 9,8 m/s2) và độ cao h(t) tính bằng mét. 

Khi đó ta có: h(t) = 320 + 20t – $\frac{1}{2}$ . 9,8 . t² hay h(t) = –  4,9t² + 20t + 320, đây là một hàm số bậc hai. 

Vật cách mặt đất không quá 100 m khi và chỉ khi h(t) ≤ 100, tức là – 4,9t² + 20t + 320 ≤ 100 hay tương đương 4,9t² – 20t – 220 ≥ 0 (1).

Xét tam thức f(t) = 4,9t² – 20t – 220 có ∆' = (– 10)² – 4,9 . (– 220) = 1 178 > 0 nên f(t) có hai nghiệm $t_1=\frac{10-\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$ và $t_2=\frac{10+\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$.

Mà hệ số af = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(t):

Suy ra bất phương trình (1) có nghiệm t ≤ $\frac{10-\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$ hoặc t ≥ $\frac{10+\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$.

Mà thời gian t > 0 nên t ≥ $\frac{10+\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$≈ 9,05.

Vậy sau ít nhất khoảng 9,05 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.