Bác Việt sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển 4 km. Hằng tuần bác chèo thuyền vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bính để nhận hàng hóa do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở thôn Hoành, bên bờ biển cách bến Bính 9,25 km và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bính bằng xe kéo. Bác Việt đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó giữa bến Bính và thôn Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Giả thiết rằng đường dọc bờ biển là thẳng và bác Việt cũng di chuyển theo một đường thẳng để tới điểm hẹn. Tìm vị trí hai người hẹn gặp, biết rằng vận tốc của anh Nam là 5 km/h và của bác Việt là 4 km/h.

Đổi: 200 m = 0,2 km, 50 m = 0,05 km.

Đặt CH = x (km) (x > 0).

Xét tam giác CHA vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

CA² = HA² + HC² = (0,05)² + x² = 0,0025 + x²

Suy ra CA = $\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}$ hay quãng đường di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C dài $\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}$ km.

Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h nên thời gian di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C là: $\frac{\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}}{5}$ (giờ).

Xét tam giác HAB vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AB² = HB² + HA² ⇔ HB² = AB² – HA² = (0,2)² – (0,05)² = 0,0375

Suy ra HB = $\frac{\sqrt{15}}{20}$.

Ta có: BC + CH = HB ⇔ BC = HB – CH = $\frac{\sqrt{15}}{20}-x$.

Do đó quãng đường di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau C dài $\frac{\sqrt{15}}{20}-x$ km.

Vận tốc đạp xe của Hùng là 15 km/h nên thời gian di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau là: $\frac{\frac{\sqrt{15}}{20}-x}{15}=\frac{\sqrt{15}-20x}{300}$ (giờ).

Để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia thì thời gian di chuyển từ vị trí A đến C của Minh phải bằng thời gian di chuyển từ vị trí B đến C của Hùng.

Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}}{5}=\frac{\sqrt{15}-20x}{300}$    (1).

Giải phương trình (1) ta có:

(1) $\iff 60\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}=\sqrt{15}-20x$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

3600.(0,0025 + x²) = 15 – 40$\sqrt{15}$x + 400x²

⇔ 3200x² + 40$\sqrt{15}$x – 6 = 0

⇔ x = $\frac{-\sqrt{15}-3\sqrt{7}}{160}$ hoặc x = $\frac{-\sqrt{15}+3\sqrt{7}}{160}$

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình (1) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Lại có điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = $\frac{-\sqrt{15}+3\sqrt{7}}{160}$≈ 0,0254.

Suy ra BC = BH – CH ≈ $\frac{\sqrt{15}}{20}-\mathrm{0,0254}\approx \mathrm{0,1682}$ km = 168,2 m.

Vậy vị trí C thỏa mãn yêu cầu đề bài là điểm cách B khoảng 168,2 m.

Hướng dẫn giải

Đặt AH = x, x > 0.

Xét tam giác AHD vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AD² = AH² + HD² ⇔ HD² = AD² – AH² = 5² – x² = 25 – x²

Suy ra HD = \(\sqrt {25 - {x^2}} \).

Ta có HC = HD + DC = \(\sqrt {25 - {x^2}} + 8\).

HB = AH + AB = x + 2

Xét tam giác HBC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

BC² = HB² + HC²

⇔ 13² = (x + 2)² + \({\left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 8} \right)^2}\)

⇔ x² + 4x + 4 + 25 – x² + 16\(\sqrt {25 - {x^2}} \)+ 64 – 169 = 0

⇔ 16\(\sqrt {25 - {x^2}} \) = – 4x + 76

⇔ 4\(\sqrt {25 - {x^2}} \) = – x + 19

Để tính x, ta cần giải phương trình: 4\(\sqrt {25 - {x^2}} \) = – x + 19 (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

16.(25 – x²) = x² – 38x + 361

⇔ 17x² – 38x – 39 = 0  

⇔ x = 3 hoặc x = \( - \frac{{13}}{{17}}\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy hai giá trị x = 3 và x = \( - \frac{{13}}{{17}}\) đều thỏa mãn.

Vì điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.

Do đó ta tính được AH = 3.

Suy ra HD = \(\sqrt {25 - {3^2}} = 4\).

HC = 4 + 8 = 12

HB = 3 + 2 = 5

Diện tích tam giác HAD là S₁ = \(\frac{1}{2}\)HA . HD = \(\frac{1}{2}\). 3 . 4 = 6.

Diện tích tam giác HBC là S₂ = \(\frac{1}{2}\)HB . HC = \(\frac{1}{2}\) . 5 . 12 = 30.

Vậy diện tích tứ giác ABCD là S = S₂ – S₁ = 30 – 6 = 24.