Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}.$ Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD. Xét khối nón (N) có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác HKL và có đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối nón (N).  

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH$

$\left\{\begin{array}{l}AH\perp SB\\ AH\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp HK$

Chứng minh tương tự ta có $BL\perp LK.$

$\Rightarrow AHKI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của AK.

$\Rightarrow$ Đáy của hình nón (N) cũng chính là đường tròn tâm O bán kính $R=\frac{1}{2}AK.$

Ta có: $SA=a\sqrt{2};AC=a\sqrt{2}$ (do ABCD là hình vuông cạnh $a)\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại A.

$\Rightarrow SC=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a$ và $AK=\frac{1}{2}SC=a$ (đường cao đồng thời là trung tuyến).

$\Rightarrow$ Bán kính đáy hình nón (N) là $R=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}a.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AH\perp \left(SBC\right)\\ AK\perp SC\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp SC\Rightarrow SC\perp \left(AHKL\right).$

Trong (SAC) kẻ đường thẳng song song với SC cắt AC tại I ta có $\left\{\begin{array}{l}I\in \left(ABD\right)\\ OI//SC\Rightarrow OI\perp \left(AHKL\right)\end{array}\right..$

$\Rightarrow I$ là đỉnh của hình nón (N) và IO là đường cao của hình nón (N).

Dễ thấy OI là đường trung bình của tam giác AKC nên $OI=\frac{1}{2}KC=\frac{1}{4}SC=\frac{a}{2}=h.$

Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi .R^2.h=\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{a}{2}\right)}^2.\frac{a}{4}=\frac{\pi a^3}{48}.$

Chọn A.