B. Bài tập

Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Để lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta cần thực hiện 2 công đoạn: chọn chữ số hàng trăm và chọn 2 chữ số hàng chục và hàng đơn vị.

+ Chọn chữ số hàng trăm từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, chữ số này phải khác 0, nên có 4 cách chọn.

+ Chọn 2 chữ số tiếp theo từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, hai chữ số này khác nhau và khác chữ số hàng trăm, nên số cách chọn chính là số chỉnh hợp chập 2 của 4. Do đó có \(A_4^2 = 12\) cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân, có 4 . 12 = 48 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4.

Cách 2:

Mỗi cách lập một bộ gồm 3 chữ số từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên số cách lập bộ số là \(A_5^3\) = 60 (cách).

Tuy nhiên, số tự nhiên có 3 chữ số thì chữ số hàng trăm phải khác 0.

Ta lập các số có dạng \(\overline {0ab} \) , thì số cách lập là: \(A_4^2 = 12\) (cách).

Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là: 60 – 12 = 48 (số).

Hướng dẫn giải

Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: \(\overline {abcd} \) và a, b, c, d ∈ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d.

Để \(\overline {abcd} \) chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d.

+ Trường hợp 1: d = 0.

Chọn a ∈ A \ {0}, a có 9 cách chọn.

Chọn 2 số b, c ∈ A \ {0; a} và sắp thứ tự chúng, nên có \(A_8^2 = 56\)cách chọn.

Do đó có: 9 . 56 = 504 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 0.

+ Trường hợp 2: d = 5.

Chọn a ∈ A \ {0; 5}, a có 8 cách chọn.

Chọn 2 số b, c ∈ A \ {5; a} và sắp thứ tự chúng, nên có \(A_8^2 = 56\)cách chọn.

Do đó có: 8 . 56 = 448 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 5.

Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 504 + 448 = 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.