Cho hai số phức z, w thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}|z-3-2i| \le 1\\ |w +\hspace{0.17em}1 +\hspace{0.17em}2i| \le |w - 2 - i|\end{array}\right.$. Tìm gía trị nhỏ nhất $P_{min}$ của biểu thức P = |z-w|. 

Đáp án C

Đặt A(3;2), B(−1;−2), C(2;1). Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diến của z, w.

Vì |z−3−2i| ≤ 1  nên tập hợp điểm biểu diễn của z trên hệ trục Oxy là hình tròn tâm A bán kính 1.

Vì |w+1+2i| ≤ |w−2−i|  nên tập hợp điểm biểu diễn của w trên hệ trục Oxy là nửa mặt phẳng bờ d chứa B và đường thẳng d. Trong đó d là trung trực của đoạn thẳng BC.

P = |z−w| = MN$|$, ${\mathrm{P}}_{\min }={\mathrm{MN}}_{\min }$

Dễ dàng kiểm tra được A, B, C thẳng hàng và MN ngắn nhất khi MN trùng với M₀N₀

Trong đó, N₀: trung điểm của BC, M₀: giao của AB và đường tròn (A;1).

Độ dài đoạn M₀N₀ = d(A;d) − R = d(A;d) − 1

Phương trình đường thẳng d có:

N₀ là trung điểm BC ⇒ N₀$\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{2}\right)$

$\overrightarrow{BC}=(3;3)$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d} \mathrm{có} 1 \mathrm{VTPT}\hspace{0.17em}\mathrm{là} (1;1)$

Phương trình đường thẳng d: 1$\left(x-\frac{1}{2}\right)$+1$\left(y-\frac{1}{2}\right)$ = 0 ⇔ x+y = 0

d(A;d) = $\frac{\left|3+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$⇒ $M_0{N}_0=\frac{5}{\sqrt{2}}-1=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$

Vậy, $P_{min}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$