Xét hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(4x.f\left( {{x^2}} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Tính \[I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \].
A. \(I = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{5}\).
B. \(I = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{{10}}\).
C. \(I = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{5}\).
D. \[I = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{10}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Ta có \[\int\limits_0^1 {4x.f\left( {{x^2}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {3f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]
\[\int\limits_0^1 {4x.f\left( {{x^2}} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right) = 2\int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \].
\[\int\limits_0^1 {3f\left( {1 - x} \right)dx} = 3\int\limits_0^1 {f\left( v \right)f\left( {1 - v} \right)} = 3\int\limits_0^1 {f\left( v \right)dv} = 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \].
Do đó \[5\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}d\left( {{x^2} + 1} \right)} = \left. {\frac{1}{2}.2\sqrt {{x^2} + 1} } \right|_0^1 = \sqrt {2 - 1} \]
\[ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{5}\].
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{2}{3}\).
Lời giải
Đáp án A
Kẻ \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {\widehat {SC;\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SCH} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {SC;\left( {ABC} \right)}} \right) = \cos \widehat {SCH} = \frac{{HC}}{{HS}}\)
Cạnh \(SH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\) và \(HC = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{H^2} + C{H^2}} = a \Rightarrow \frac{{HC}}{{SC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Câu 2
A. \(\ln \frac{8}{3}\).
B. \(\ln \frac{3}{8}\).
C. \(\frac{{\ln 8}}{{\ln 3}}\).
D. \(\frac{{\ln \left( {8a} \right)}}{{\ln \left( {3a} \right)}}\).
Lời giải
Đáp án A
Ta có \(\ln \left( {8a} \right) - \ln \left( {3a} \right) = \ln \frac{{8a}}{{3a}} = \ln \frac{8}{3}\).
Câu 3
A. 0.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).
B. \(\frac{3}{{1 + 2\sqrt 2 }}\).
C. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
D. \(\frac{4}{5}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. 38.
B. 76.
C. 57.
D. 95.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(2\sqrt 3 \).
B. 4.
C. \(\frac{9}{2}\).
D. \(\frac{5}{{12}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \({\log _8}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{1}{2}a + b\).
B. \({\log _8}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = a + \frac{1}{2}b\).
C. \({\log _8}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{1}{2}a - b\).
D. \({\log _8}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = a - \frac{1}{2}b\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo