Cho A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Ta có: (3x – 2)⁵ = \( = C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - 2} \right) + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{\left( {3x} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 2} \right)^5}\)

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)⁵ = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)⁴ = \(C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.y + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{y^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{y^3} + C_4^4.{y^4}\)

\( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\).

Vậy (3x + y)⁴ \( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\).

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = $\sqrt{2}$, ta có:

\({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\) = \(C_5^0\)x⁵ + \(C_5^1\)x⁴.\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^1}\)+ \(C_5^2\)x³\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}\) + \(C_5^3\)x²\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^3}\) + \(C_5^4\)x\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}\) + \(C_5^5\)\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\)

= x⁵ – \(5\sqrt 2 \)x⁴ + 20x³ – \(20\sqrt 2 \)x² + 20x – \(4\sqrt 2 \).

Vậy \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\) = \(C_5^0\)x⁵ – \(5\sqrt 2 \)x⁴ + 20x³ – \(20\sqrt 2 \)x² + 20x – \(4\sqrt 2 \).