Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra:

a) 1 thành viên của nhóm?

b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?

c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Mật mã là một dãy số có ba chữ số nên việc thiết lập mật mã chia làm ba giai đoạn:

- Chữ số đầu tiên có 10 cách chọn;

- Chữ số thứ hai có 10 cách chọn;

- Chữ số thứ ba có 10 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có: 10.10.10 = 1 000 mật mã.

Vậy có tất cả 1 000 cách chọn mật mã cho khóa.

a) Số tự nhiên có sáu chữ số với 6 chữ số được lấy từ 6 thẻ là hoán vị của 6 chữ số. Do đó số số tự nhiên có sáu chữ số là:

P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số.

Vậy có tất cả 720 số tự nhiên có sáu chữ số lấy từ các tấm thẻ.

b) Việc lập số tự nhiên lẻ có sáu chữ số lấy từ 6 thẻ được chia làm hai giai đoạn:

- Giai đoạn 1. Chọn chữ số hàng đơn vị lấy từ các tấm thẻ có chữ số lẻ {1; 3; 5}, có 3 cách.

- Giai đoạn 2. Chọn 5 chữ số còn lại lấy từ 5 tấm thẻ còn lại là hoán vị của 5 chữ số, do đó có 5! = 120 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: 3.120 = 360 số tự nhiên lẻ có sáu chữ số.

Vậy có 360 số tự nhiên lẻ có sáu chữ số.

c) Số số tự nhiên có năm chữ số được lấy từ 6 tấm thẻ là chỉnh hợp chập 5 của 6, do đó có \(A_6^5 = 720\) số.

Vậy có 720 số tự nhiên có 5 chữ số được lấy từ 6 tấm thẻ.

d) Gọi số tự nhiên có năm chữ số cần tìm là \(\overline {abcde} \) (trong đó a, b, c, d, e là các số trên tấm thẻ, a ≠ 0).

Vì \(\overline {abcde} > 50000\) nên a có thể bằng 5 hoặc 6, nghĩa là a có 2 cách chọn.

Bốn chữ số còn lại được chọn từ số trên bốn tấm thẻ còn lại là hoán vị của 4 chữ số, do đó có 4! = 24 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: 2.24 = 48 số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000.