Câu hỏi:
27/06/2022 116Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 1\), \(\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx = \frac{2}{7}\) và \(\int\limits_0^2 {{x^2}.f\left( x \right)} dx = \frac{{40}}{{21}}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án B
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\), khi đó \(\int\limits_0^2 {{x^2}.f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3}.f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^2 {\frac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \)
Suy ra \(\frac{{40}}{{21}} = \frac{8}{3}f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {\frac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \frac{{16}}{7}\)
Ta chọn k sao cho: \(\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right) + k{x^3}} \right]}^2}dx} = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx + 2k\int\limits_0^2 {f'\left( x \right){x^3}dx} + {k^2}\int\limits_0^2 {{x^6}dx} = 0} \)
\( = \frac{2}{7} + \frac{{32}}{7}k + \frac{{128{k^2}}}{7} = 0 \Rightarrow k = \frac{{ - 1}}{8} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - \frac{1}{8}{x^3}} \right]}^2}dx = 0} \)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{8} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{{32}} + C\)
Do \(f\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{{32}} + \frac{1}{2} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{6}{5}\)
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;1;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y + 2z + 11 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm C. Biết C luôn thuộc đường tròn \(\left( T \right)\) cố định. Tính bán kính r của đường tròn \(\left( T \right)\).
Câu 2:
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} = 3\), \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} = - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \).
Câu 3:
Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một lần 3 viên bi. Tính xác xuất lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
Câu 4:
Cho a là một số thực dương, khác 1. Đặt \({\log _3}a = \alpha \). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{\frac{1}{3}}}a - {\log _{\sqrt 3 }}{a^2} + {\log _a}9\) theo \(\alpha \)
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x + y - 3z + 1 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa A; B và vuông góc với \(\left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:
Câu 6:
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau: \({d_1}\): \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 6}}{{ - 2}}\), \({d_2}\): \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và song song với \({d_2}\) là:
Câu 7:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
về câu hỏi!