Có bao nhiêu giá trị thực của m để bất phương trình \[{4^x} - (m + 1){2^x} + m < 0\;\]vô nghiệm?

\[{4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Đặt\[{2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right).\]

Khi đó bất phương trình đã cho\[ \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + m < 0\,\,\,\left( * \right).\]

TH1:\[m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} < 0\]=> bất phương trình vô nghiệm.</>

⇒m=1 thỏa mãn.

TH2: \[m \ne 1\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - mt - t + m < 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - t - \left( {mt - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 1} \right) - m\left( {t - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - m} \right) < 0\,\,\,\end{array}\]

+) Với m>1⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: \[S = \left( {1;\,\,m} \right) \subset \left( {0; + \infty } \right)\]

⇒ Bất phương trình  (∗) luôn có nghiệm t>0

⇒(1) luôn có nghiệm xx ⇒m>1 không thỏa mãn.

+) Với m<1 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là:\[S = \left( {m;\,\,1} \right)\]

⇒ Bất phương trình  (∗) luôn có nghiệm 0<t<1

⇒(1) luôn có nghiệm x ⇒m<1 không thỏa mãn.

Vậy chỉ có m=1 thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C