Câu hỏi:
28/06/2022 134Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \[f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\], \[\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\]. Tính giá trị của tích phân \[I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} \].
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án D
Phương pháp giải:
- Đặt \(t = \frac{1}{x}\), suy ra hệ phương trình, giải tìm \(f\left( x \right)\).
- Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} \), có thể sử dụng MTCT.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Đặt \(t = \frac{1}{x}\) , khi đó (1) trở thành \(f\left( {\frac{1}{t}} \right) + 2f\left( t \right) = \frac{1}{t}\), suy ra \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x}\\{f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \frac{1}{x}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x}\\{4f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{2}{x}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow 3f\left( x \right) = \frac{2}{x} - x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{x} - x} \right)\)
Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2 - {x^2}} \right)dx} = \frac{1}{3}\left. {\left( {2x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{1}{8}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2m{x^2} + 8x - 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
Câu 2:
Cho biết nồng độ dung dịch bão hòa KAl(SO4)2 ở 200C là 5,56%. Lấy m gam dung dịch bão hòa KAl(SO4)2.12H2O ở 20oC để đun nóng cho bay hơi 200 gam nước, phần còn lại làm lạnh đến 200C. Tính khối lượng tinh thể KAl(SO4)2.12H2O kết tinh?
Câu 5:
Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng, công ti liên doanh A đề xuất 2 phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể:
+ Phương án 1: Người lao động nhận được 360 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm thứ 2 trở đi, mức lương sẽ tăng thêm 30 triệu đồng mỗi năm.
+ Phương án 2: Người lao động nhận được 70 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, và kể từ quý thứ 2 trở đi, mức lương sẽ tăng thêm 5 triệu đồng mỗi quý.
Nếu em là người kí hợp đồng lao động em sẽ chọn phương án nào?
Câu 6:
Nhận thức mới của Nguyễn Tất Thành trong giai đoạn 1911- 1917 so với các nhà yêu nước tiền bối là về
Câu 7:
Chọn một từ mà nghĩa của nó KHÔNG cùng nhóm với các từ còn lại.
về câu hỏi!