Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A'C'\). \(P\) là điểm trên cạnh \(BB'\) sao cho \(PB = 2PB'\). Thể tích của khối tứ diện \(CMNP\) bằng:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng để bài toán đơn giản hơn.

Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) kéo dài \(NC\) cắt \(AA'\) tại \(E\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\frac{{A'N}}{{AC}} = \frac{1}{2} = \frac{{EA'}}{{EA}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) \( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(CE\) \( \Rightarrow \frac{{CN}}{{CE}} = \frac{1}{2}\).

Ta có: \(\frac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MEP}}}} = \frac{{CM}}{{CM}}.\frac{{CN}}{{CE}}.\frac{{CP}}{{CP}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{C.MNP}} = \frac{1}{2}{V_{C.MEP}}\).

Dựng hình chữ nhật \(ABFE\), ta có: \({S_{ABFE}} = {S_{ABB'A'}}\).

\(\frac{{{S_{EAM}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{{S_{PEF}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{PF}}{{BF}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{{{S_{PMB}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{PB}}{{BF}}.\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{12}}\).

Khi đó ta có: \({S_{MEP}} = {S_{ABFE}} - {S_{EAM}} - {S_{PEF}} - {S_{PMB}}\)

\({\mkern 1mu} = {S_{ABFE}} - \frac{1}{4}{S_{ABFE}} - \frac{1}{3}{S_{ABFE}} - \frac{1}{{12}}{S_{ABFE}}\)

\( = \frac{1}{3}{S_{ABFE}} = \frac{2}{3}{S_{ABB'A'}}\)

Ta có: \(\frac{{{V_{C.MEP}}}}{{{V_{C.ABB'A'}}}} = \frac{{{S_{MEP}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \frac{2}{3}\).

Mà \({V_{C.ABB'A'}} = \frac{2}{3}V\) nên \({V_{C.MEP}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}V = \frac{4}{9}V\).

Vậy \({V_{C.MNP}} = \frac{1}{2}{V_{C.MEP}} = \frac{2}{9}V\).