Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\], mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - 2z + 5 = 0\] và \[A\left( {1; - 1;2} \right)\]. Đường thẳng Δ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Một vectơ chỉ phương của Δ là

Cho tích phân \[I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 32.\] Tính tích phân \[J = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} \].

Biết \[\int {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}dx = a\ln \left| {x - 1} \right|} + b\ln \left| {x - 2} \right| + C,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\] Tính giá trị của biểu thức \[a + b\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] và các trục tọa độ là \[S = 32\] (hình vẽ bên). Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục \[Ox.\]

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như hình vẽ

Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 7 - 3\sqrt {4x + 5} }}{{\left| {f\left( x \right)} \right| - 2}}\] là

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.\]

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc \[{v_0} = 15{\mkern 1mu} m/s\] thì tăng tốc với gia tốc \[a\left( t \right) = {t^2} + 4t{\mkern 1mu} \left( {m/{s^2}} \right).\] Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC, với \[A\left( {1;2;1} \right),B\left( { - 3;0;3} \right),C\left( {2;4; - 1} \right).\]  Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.