Câu hỏi:

28/06/2022 87

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với góc \[{60^0}.\] Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt \[SB,SD\] lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của khối chóp không chứa đỉnh S.

Đáp án chính xác

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP Thi Thử Ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a (ảnh 1)

+) Gọi \(O = AC \cap BD,{\rm{ }}G = AM \cap SO\)

Þ G là trọng tâm \(\Delta SAC \Rightarrow \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).

+) Ta có: \(\left( {\widehat {SC;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC;OC}} \right) = \widehat {SCO} = 60^\circ \)

\(OC = \frac{1}{2}.AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},{\rm{ }}SO = OC.\tan \widehat {SCO} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

+) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD Þ \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua G và song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại EF. Do đó \(\left( \alpha \right)\) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF Þ \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.

+) Ta có EF đi qua G\(EF//BD \Rightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).

+) \(\frac{{{V_{S.AEF}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{S.ABD}} = \frac{2}{9}{V_{S.ABCD}}\)

+) \(\frac{{{V_{S.EFM}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SF}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{2}{9} \Rightarrow {V_{S.EFM}} = \frac{2}{9}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{9}{V_{S.ABCD}}\)

+ Ta có: \({V_{S.AEMF}} = {V_{S.AEF}} + {V_{S.EFM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\)

Þ Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:

\(V = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AEMF}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\).

Quảng cáo

book vietjack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tích phân \[I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 32.\] Tính tích phân \[J = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} \].

Xem đáp án » 28/06/2022 769

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn \[(2 + 3i)z + 4 - 3i = 13 + 4i\]. Môđun của z bằng

Xem đáp án » 28/06/2022 343

Câu 3:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right) = \left| {2{x^3} - 15x + m - 5} \right| + 9x\] trên \[\left[ {0;3} \right]\] bằng 60. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số thực m.

Xem đáp án » 28/06/2022 315

Câu 4:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.\]

Xem đáp án » 28/06/2022 244

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho \[A\left( {1;3;5} \right)\], \[B\left( { - 5; - 3; - 1} \right)\]. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

Xem đáp án » 28/06/2022 225

Câu 6:

Biết \[\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x\left( {\ln x + 2} \right)}}{\rm{d}}x = a\ln 3 + b\ln 2 + c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,b,c \in Q).} \] Tính giá trị của \[S = {a^2} + {b^2} + {c^2}.\]

Xem đáp án » 28/06/2022 219

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật \[AB = a\], \[AD = 2a\], cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích khối chóp S.ABCD bằng \[\frac{{2{a^3}}}{3}\] . Tính góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\].

Xem đáp án » 28/06/2022 204

Bình luận


Bình luận