Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với góc \[{60^0}.\] Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt \[SB,SD\] lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của khối chóp không chứa đỉnh S.

Đáp án B

+) Gọi \(O = AC \cap BD,{\rm{ }}G = AM \cap SO\)

Þ G là trọng tâm \(\Delta SAC \Rightarrow \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).

+) Ta có: \(\left( {\widehat {SC;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC;OC}} \right) = \widehat {SCO} = 60^\circ \)

Có \(OC = \frac{1}{2}.AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},{\rm{ }}SO = OC.\tan \widehat {SCO} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

+) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD Þ \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua G và song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Do đó \(\left( \alpha \right)\) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF Þ \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.

+) Ta có EF đi qua G và \(EF//BD \Rightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).

+) \(\frac{{{V_{S.AEF}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{S.ABD}} = \frac{2}{9}{V_{S.ABCD}}\)

+) \(\frac{{{V_{S.EFM}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SF}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{2}{9} \Rightarrow {V_{S.EFM}} = \frac{2}{9}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{9}{V_{S.ABCD}}\)

+ Ta có: \({V_{S.AEMF}} = {V_{S.AEF}} + {V_{S.EFM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\)

Þ Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:

\(V = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AEMF}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\).