Câu hỏi:

28/06/2022 397 Lưu

Cho hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên Biết rằng \[f\left( 4 \right) = 2,\] \[\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{f\left( {4x} \right)}} = 1.} \] Tính tích phân \[I = \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}f'\left( x \right)dx}}{{{f^2}\left( x \right)}}.} \]

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Đặt \(t = 4x \Rightarrow dt = 4dx\), đổi cận ta được \(\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{f\left( {4x} \right)}} = \int\limits_0^4 {\frac{{t.\frac{{dt}}{4}}}{{4f\left( t \right)}}} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {\frac{{tdt}}{{f\left( t \right)}} = 16} } \)

Do đó  \(\int\limits_0^4 {\frac{{xdx}}{{f\left( x \right)}}} = 16\), đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_0^4 {\frac{{xdx}}{{f\left( x \right)}}} = \left. {\frac{{{x^2}}}{{2f\left( x \right)}}} \right|_0^4 + \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}f'\left( x \right)dx}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \Leftrightarrow 16 = \frac{{16}}{{2f\left( 4 \right)}} + \frac{1}{2}I \Leftrightarrow I = 24\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Đáp án D

Đặt \(2x = t \Rightarrow J = \int\limits_0^4 {f\left( t \right)d\left( {\frac{t}{2}} \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}.32 = 16} \).

Lời giải

Đáp án A

\(\int {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}dx} = \int {\frac{{ - 2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}dx} \)

                        \( = \int {\left( {\frac{{ - 2}}{{x - 1}} + \frac{3}{{x - 2}}} \right)dx} \)

                        \( = - 2\ln \left| {x - 1} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\)

\( \Rightarrow a = - 2,{\rm{ }}b = 3 \Rightarrow a + b = 1\)

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP