Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:

Hàm \[g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) - 6{f^2}\left( x \right) - 1\] có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Đáp án A

Để xử lý bài toán các bạn mạnh dạn đạo hàm hàm hợp và chú ý vấn đề nghiệm đơn, nghiệm kép.

\(g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) - 6{f^2}\left( x \right) - 1 \Rightarrow g\left( x \right) = 6f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right) - 12f'\left( x \right).f\left( x \right) = 0\)

+ \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm \(x = 0;{\rm{ }}x = 3\).

+ \({f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \alpha > 3\\f\left( x \right) = 2 \Rightarrow x = m < 0;{\rm{ }}x = n \in \left( {0;3} \right);{\rm{ }}x = \beta > 3,{\rm{ }}\beta < \alpha \end{array} \right.\)

Tất cả các nghiệm đều là nghiệm đơn.

Chú ý rằng nếu \(x > \alpha \Rightarrow f\left( x \right) < 0\) theo như bảng biến thiên. Do đó ta có bảng biến thiên hàm \(g\left( x \right)\)

Như vậy kết luận 3 điểm cực tiểu.

Trên đây là lập luận chặt chẽ, ngoài ra các em có thể tính nhanh dựa trên may mắn như sau: \(g'\left( x \right) = 0\) có 6 nghiệm phân biệt, thế thì có 3 cực tiểu, 3 cực đại. Sự may mắn này có lẻ chỉ đến khi có số chẵn nghiệm.