Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + \sqrt 2 )^2} = 9\] và hai điểm \[A( - 2;0; - 2\sqrt 2 ),B( - 4; - 4;0)\]. Biết rằng tập hợp các điểm M thuộc \[(S)\] sao cho \[M{A^2} + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {MB} = 16\] là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng

Đáp án C

Gọi .\[M\left( {x;y;z} \right)\] ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 2;y;z + 2\sqrt 2 } \right),{\rm{ }}\overrightarrow {OM} = \left( {x;y;z} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {BM} = \left( {x + 4;y + 4;z} \right)\).

Ta có: \(M{A^2} + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {MB} = 16 \Leftrightarrow M{A^2} + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BM} = 16\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2\sqrt 2 } \right)^2} + x\left( {x + 4} \right) + y\left( {y + 4} \right) + {z^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y + 2\sqrt 2 z - 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta lại có:

\(M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + \sqrt 2 } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2\sqrt 2 z - 2 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y + 2\sqrt 2 z = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2\sqrt 2 z - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow 6y = 0 \Leftrightarrow y = 0\).

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) của \[\left( S \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):y = 0\].

Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \[r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I;\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} {\rm{ }}\left( * \right)\].

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( { - 2;1; - \sqrt 2 } \right)\], bán kính \[R = 3 \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 1\].

Do đó, \[\left( * \right) \Rightarrow r = \sqrt {{3^2} - {1^2}} = 2\sqrt 2 \].