Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 5fx−7f1−x=3x2−2x,∀x∈ℝ. Biết rằng tích phân I=∫01x.f'xdx=−ab (với a, b là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản). Tính T=3a−b. A. T...

Xét tích phân I=∫01x.f'xdx. Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx, khi đó ta có I=xfx10−∫01fxdx=f1−∫01fxdx. Theo bài ra ta có: 5fx−7f1−x=3x2−2x Thay x=0⇒5f0−7f1=0 Thay x=1⇒5f1−7f0=−3 ⇒f0=78,f1=58. Xét tích phân ∫01fxdx. Từ 5fx−7f1−x=3x2−2x lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có: 5∫01fxdx−7∫01f1−xdx=∫013x2−2xdx. ⇔5∫01fxdx+7∫01f1−xd1−x=−2 ⇔5∫01fxdx+7∫10fxdx=−2 ⇔5∫01fxdx−7∫01fxdx=−2 ⇔−2∫01fxdx=−2 ⇔∫01fxdx=1 Suy ra I=f1−∫01fxdx=58−1=−38⇒a=3,b=8. Vậy T=3a−b=3.3−8=1. Chọn D.

Câu hỏi:

29/06/2022 192

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn $5 f (x) - 7 f (1 - x) = 3 (x^{2} - 2 x), \forall x \in ℝ .$ Biết rằng tích phân $I = \int_{0}^{1} x . f' (x) d x = - \frac{a}{b}$ (với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $T = 3 a - b .$

A. T = 0

B. T = -48

C. T = 16

D. T = 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét tích phân $I = \int_{0}^{1} x . f' (x) d x .$

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = f (x) \end{cases},$ khi đó ta có $I = x f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} f (x) d x = f (1) - \int_{0}^{1} f (x) d x .$

Theo bài ra ta có: $5 f (x) - 7 f (1 - x) = 3 (x^{2} - 2 x)$

Thay $x = 0 \Rightarrow 5 f (0) - 7 f (1) = 0$

Thay $x = 1 \Rightarrow 5 f (1) - 7 f (0) = - 3$

$\Rightarrow f (0) = \frac{7}{8}, f (1) = \frac{5}{8} .$

Xét tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x .$

Từ $5 f (x) - 7 f (1 - x) = 3 (x^{2} - 2 x)$ lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:

$5 \int_{0}^{1} f (x) d x - 7 \int_{0}^{1} f (1 - x) d x = \int_{0}^{1} 3 (x^{2} - 2 x) d x .$

$\Leftrightarrow 5 \int_{0}^{1} f (x) d x + 7 \int_{0}^{1} f (1 - x) d (1 - x) = - 2$

$\Leftrightarrow 5 \int_{0}^{1} f (x) d x + 7 \int_{1}^{0} f (x) d x = - 2$

$\Leftrightarrow 5 \int_{0}^{1} f (x) d x - 7 \int_{0}^{1} f (x) d x = - 2$

$\Leftrightarrow - 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = - 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 1$

Suy ra $I = f (1) - \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{5}{8} - 1 = - \frac{3}{8} \Rightarrow a = 3, b = 8.$

Vậy $T = 3 a - b = 3.3 - 8 = 1.$

Chọn D.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện ABCD có $A D ⊥ (A B C), A C = A D = 2, A B = 1$ và $B C = \sqrt{5} .$ Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

A. $d = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

B. $d = \frac{\sqrt{6}}{2} .$

C. $d = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

D. $d = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Lời giải

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc (ABC), AC = AD = 2, AB = 1 (ảnh 1)

Trong (ABC) kẻ $A H ⊥ B C (H \in B C),$ trong (ADH) kẻ $A K ⊥ D H (K \in D H),$ ta có:

$\{\begin{cases} B C ⊥ A H \\ B C ⊥ A D (A D ⊥ (A B C)) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (A D H) \Rightarrow B C ⊥ A K$

$\{\begin{cases} A K ⊥ D H \\ A K ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A K ⊥ (B C D) \Rightarrow d (A; (B C D)) = A H$

Xét tam giác ABC ta có $A B^{2} + A C^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5 = B C^{2} \Rightarrow Δ A B C$ vuông tại A (định lí Pytago đảo).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có $A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{1.2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADH ta có $A K = \frac{A D . A H}{\sqrt{A D^{2} + A H^{2}}} = \frac{2. \frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{4 + \frac{4}{5}}} = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Vậy $d = d (A; (B C D)) = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Chọn A.

Câu 2

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0, b > 0, c > 0, d > 0$

B. $a < 0, b < 0, c = 0, d > 0$

C. $a < 0, b > 0, c = 0, d > 0$

D. $a > 0, b < 0, c > 0, d > 0$

Lời giải

Đồ thị có nhánh cuối đi xuống nên $a < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm trên trục hoành $\Rightarrow d > 0.$

Đồ thị có 2 điểm cực trị $\{\begin{cases} x_{1} = 0 \\ x_{2} > 0 \end{cases}$ nên phương trình $y' = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

$\{\begin{cases} x_{1} = 0 \\ x_{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} x_{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- 2 b}{3 a} > 0 \\ \frac{c}{3 a} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b > 0 \\ c = 0 \end{cases} .$

Vậy $a < 0, b > 0, c = 0, d > 0.$

Chọn C.

Câu 3

Giá trị của biểu thức $M = \log_{2} 2 + \log_{2} 4 + \log_{2} 8 + ... + \log_{2} 256$ bằng:

A. 56

B. $8 \log_{2} 256$

C. 36

D.48

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Anh An đem gửi tiết kiệm số tiền là 400 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Anh gửi 250 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 1,2% một quý. Số tiền còn lại anh gửi theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất y% một tháng. Biết rằng nếu không rút lãi thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau một năm số tiền cả gốc lẫn lãi của anh là 416.780.000 đồng. Tính y.

A. 0,45

B. 0,25

C. 0,35

D. 0,55

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 và nội tiếp trong mặt cầu có bán kính bằng 3. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối trụ và khối cầu đã cho. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4}{9}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{18}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{7}{9}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{9}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; -3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{7}{40}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(\frac{3}{4}; \frac{5}{4})$

B. $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$

C. $(0; \frac{1}{3})$

D. $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học