Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:x+11=y+21=z−11. Lấy điểm M(a; b; c) với a < 0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA. MB, MC đến mặt cầu...

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -3), bán kính R=33. Đặt MA = MB = MC = a Tam giác MAB có MA=MB∠AMB=600⇒ΔMAB đều ⇒AB=a. Tam giác MBC có MB=MC=a∠BMC=900⇒ΔMBC vuông cân tại M⇒BC=a2. Tam giác MCA có MC=MA=a∠MAC=1200, áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta tính được CA=a3. ⇒ΔABC vuông tại B (định lí Pytago đảo). ⇒ΔABC ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính R=HA=12AC=a32 (với H là trung điểm của AC). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông IAM ta có: 1HA2=1AM2+1IA2⇔43a2=1a2+127⇔a=3=MA=MB=MC. ⇒IM2=MA2+IA2=32+27=36 Vì M∈d:x+11=y+21=z−11 nên gọi M−1+t;−2+t;1+t. ⇒IM2=t−22+t−42+t+42=36 ⇔3t2−4t=0⇔t=0t=43⇔M−1;−2;1M13;−23;73ktm ⇒a=−1,b=−2,c=1. Vậy a+b+c=−1−2+1=−2. Chọn C.

Câu hỏi:

29/06/2022 177

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z - 13 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1} .$ Lấy điểm

M(a; b; c) với a < 0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA. MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là tiếp điểm) thỏa mãn $∠ A M B = 60^{0}, ∠ B M C = 90^{0}, ∠ C M A = 120^{0} .$ Tổng a + b + c bằng

A. 1

B. $\frac{10}{3}$

C. -2

Đáp án chính xác

D. 2

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 -2x - 4y + 6z - 13 = 0 (ảnh 1)

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -3), bán kính $R = 3 \sqrt{3} .$

Đặt MA = MB = MC = a

Tam giác MAB có $\{\begin{cases} M A = M B \\ ∠ A M B = 60^{0} \end{cases} \Rightarrow Δ M A B$ đều $\Rightarrow A B = a .$

Tam giác MBC có $\{\begin{cases} M B = M C = a \\ ∠ B M C = 90^{0} \end{cases} \Rightarrow Δ M B C$ vuông cân tại $M \Rightarrow B C = a \sqrt{2} .$

Tam giác MCA có $\{\begin{cases} M C = M A = a \\ ∠ M A C = 120^{0} \end{cases},$ áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta tính được $C A = a \sqrt{3} .$

$\Rightarrow Δ A B C$ vuông tại B (định lí Pytago đảo).

$\Rightarrow Δ A B C$ ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính $R = H A = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ (với H là trung điểm của AC).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông IAM ta có:

$\frac{1}{H A^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{I A^{2}} \Leftrightarrow \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{27} \Leftrightarrow a = 3 = M A = M B = M C .$

$\Rightarrow I M^{2} = M A^{2} + I A^{2} = 3^{2} + 27 = 36$

Vì $M \in d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1}$ nên gọi $M (- 1 + t; - 2 + t; 1 + t)$ .

$\Rightarrow I M^{2} = {(t - 2)}^{2} + {(t - 4)}^{2} + {(t + 4)}^{2} = 36$

$\Leftrightarrow 3 t^{2} - 4 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = \frac{4}{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} M (- 1; - 2; 1) \\ M (\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{7}{3}) (k t m) \end{array}$

$\Rightarrow a = - 1, b = - 2, c = 1.$

Vậy $a + b + c = - 1 - 2 + 1 = - 2.$

Chọn C.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho tứ diện ABCD có $A D ⊥ (A B C), A C = A D = 2, A B = 1$ và $B C = \sqrt{5} .$ Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

A. $d = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

B. $d = \frac{\sqrt{6}}{2} .$

C. $d = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

D. $d = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án » 28/06/2022 3,726

Câu 2:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 và nội tiếp trong mặt cầu có bán kính bằng 3. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối trụ và khối cầu đã cho. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4}{9}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{18}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{7}{9}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{9}$

Xem đáp án » 27/06/2022 2,949

Câu 3:

Giá trị của biểu thức $M = \log_{2} 2 + \log_{2} 4 + \log_{2} 8 + ... + \log_{2} 256$ bằng:

A. 56

B. $8 \log_{2} 256$

C. 36

D.48

Xem đáp án » 28/06/2022 2,009

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G với A(1; -6; -1), B(-2; 2; 3), C(4; -5; -11). Gọi I(m; n; p) là điểm đối xứng với G qua mặt phẳng (Oxy). Tính $T = 2021^{m + n + p} .$

A. $T = \frac{1}{2021}$

B. T = 2021

C. T = 1

D. $T = \frac{1}{2021^{5}}$

Xem đáp án » 27/06/2022 1,328

Câu 5:

Một hình nón và một hình trụ có cùng chiều cao bằng h và bán kính đường tròn đáy bằng r hơn nữa diện tích xung quanh của chúng cũng bằng nhau. Khi đó, tỉ số $\frac{r}{h}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. 2

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án » 27/06/2022 1,109

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; -3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

Xem đáp án » 28/06/2022 966

Câu 7:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${(\frac{2}{3})}^{x^{2} - 3 x - 12} \geq \frac{9}{4}$ là:

A. 10

B. 5

C. 7

D. 8

Xem đáp án » 28/06/2022 932

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tứ diện ABCD có AD⊥ABC,AC=AD=2,AB=1 và BC=5. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 và nội tiếp trong mặt cầu có bán kính bằng 3. Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích của khối trụ và khối cầu đã cho. Tính tỉ số V1V2.

Giá trị của biểu thức M=log22+log24+log28+...+log2256 bằng:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G với A(1; -6; -1), B(-2; 2; 3), C(4; -5; -11). Gọi I(m; n; p) là điểm đối xứng với G qua mặt phẳng (Oxy). Tính T=2021m+n+p.

Một hình nón và một hình trụ có cùng chiều cao bằng h và bán kính đường tròn đáy bằng r hơn nữa diện tích xung quanh của chúng cũng bằng nhau. Khi đó, tỉ số rh bằng:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; -3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình 23x2−3x−12≥94 là:

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!