Câu hỏi:

29/06/2022 291

Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, AB = 2, AC = 1 và $S A ⊥ (A B C)$ . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt cầu tâm O đi qua A và cắt các tia SB, SC lần lượt tại D và E. Khi độ dài đoạn thẳng BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADE là:

A. $\frac{64}{85}$

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{256}{255}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, AB = 2, AC = 1 và SA vuông góc (ABC). Gọi O là tâm (ảnh 1)

Kẻ đường kính AM của (O)

Ta có $\{\begin{cases} B M ⊥ A B \\ B M ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B M ⊥ (S A B) \Rightarrow B M ⊥ A D .$

Lại có $A D ⊥ D M$ (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) $\Rightarrow A D ⊥ (S B M) \Rightarrow A D ⊥ S B .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\frac{S D}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{S A^{2}}{S A^{2} + A B^{2}} = \frac{4^{2}}{4^{2} + 2^{2}} = \frac{4}{5} .$

Ta có $A D ⊥ (S B C) \Rightarrow A D ⊥ D E \Rightarrow Δ A D E$ vuông tại D

Chứng minh tương tự ta có $A E ⊥ (S C M) \Rightarrow A E ⊥ S C .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\frac{S E}{S C} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{S A^{2}}{S A^{2} + A C^{2}} = \frac{4^{2}}{4^{2} + 1^{2}} = \frac{16}{17} .$

Khi đó ta có $\frac{V_{S . A D E}}{V_{S . A B C}} = \frac{S D}{S B} . \frac{S E}{S C} = \frac{4}{5} . \frac{16}{17} = \frac{64}{85} \Rightarrow V_{S . A D E} = \frac{64}{85} V_{S . A B C} .$

Do đó $V_{S . A D E}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $V_{S . A B C}$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{6} S A . A B . S C . \sin ∠ B A C = \frac{1}{6} .4.2.1. \sin ∠ B A C = \frac{4}{3} \sin ∠ B A C$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin ∠ B A C = 1 \Leftrightarrow ∠ B A C = 90^{0} .$

Khi đó $\max V_{S . A B C} = \frac{4}{3} \Rightarrow \max V_{S . A D E} = \frac{256}{255} .$

Chọn D.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện ABCD có $A D ⊥ (A B C), A C = A D = 2, A B = 1$ và $B C = \sqrt{5} .$ Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

A. $d = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

B. $d = \frac{\sqrt{6}}{2} .$

C. $d = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

D. $d = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Lời giải

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc (ABC), AC = AD = 2, AB = 1 (ảnh 1)

Trong (ABC) kẻ $A H ⊥ B C (H \in B C),$ trong (ADH) kẻ $A K ⊥ D H (K \in D H),$ ta có:

$\{\begin{cases} B C ⊥ A H \\ B C ⊥ A D (A D ⊥ (A B C)) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (A D H) \Rightarrow B C ⊥ A K$

$\{\begin{cases} A K ⊥ D H \\ A K ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A K ⊥ (B C D) \Rightarrow d (A; (B C D)) = A H$

Xét tam giác ABC ta có $A B^{2} + A C^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5 = B C^{2} \Rightarrow Δ A B C$ vuông tại A (định lí Pytago đảo).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có $A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{1.2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADH ta có $A K = \frac{A D . A H}{\sqrt{A D^{2} + A H^{2}}} = \frac{2. \frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{4 + \frac{4}{5}}} = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Vậy $d = d (A; (B C D)) = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Chọn A.

Câu 2

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0, b > 0, c > 0, d > 0$

B. $a < 0, b < 0, c = 0, d > 0$

C. $a < 0, b > 0, c = 0, d > 0$

D. $a > 0, b < 0, c > 0, d > 0$

Lời giải

Đồ thị có nhánh cuối đi xuống nên $a < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm trên trục hoành $\Rightarrow d > 0.$

Đồ thị có 2 điểm cực trị $\{\begin{cases} x_{1} = 0 \\ x_{2} > 0 \end{cases}$ nên phương trình $y' = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

$\{\begin{cases} x_{1} = 0 \\ x_{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} x_{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- 2 b}{3 a} > 0 \\ \frac{c}{3 a} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b > 0 \\ c = 0 \end{cases} .$

Vậy $a < 0, b > 0, c = 0, d > 0.$

Chọn C.

Câu 3

Giá trị của biểu thức $M = \log_{2} 2 + \log_{2} 4 + \log_{2} 8 + ... + \log_{2} 256$ bằng:

A. 56

B. $8 \log_{2} 256$

C. 36

D.48

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Anh An đem gửi tiết kiệm số tiền là 400 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Anh gửi 250 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 1,2% một quý. Số tiền còn lại anh gửi theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất y% một tháng. Biết rằng nếu không rút lãi thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau một năm số tiền cả gốc lẫn lãi của anh là 416.780.000 đồng. Tính y.

A. 0,45

B. 0,25

C. 0,35

D. 0,55

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 và nội tiếp trong mặt cầu có bán kính bằng 3. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối trụ và khối cầu đã cho. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4}{9}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{18}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{7}{9}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{9}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; -3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{7}{40}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(\frac{3}{4}; \frac{5}{4})$

B. $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$

C. $(0; \frac{1}{3})$

D. $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tứ diện ABCD có AD⊥ABC,AC=AD=2,AB=1 và BC=5. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giá trị của biểu thức M=log22+log24+log28+...+log2256 bằng:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 và nội tiếp trong mặt cầu có bán kính bằng 3. Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích của khối trụ và khối cầu đã cho. Tính tỉ số V1V2.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; -3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:

Cho hàm số y=fx=13x3+ax có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S1,S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1S2=740 thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ diện ABCD có $A D ⊥ (A B C), A C = A D = 2, A B = 1$ và $B C = \sqrt{5} .$ Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giá trị của biểu thức $M = \log_{2} 2 + \log_{2} 4 + \log_{2} 8 + ... + \log_{2} 256$ bằng:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 và nội tiếp trong mặt cầu có bán kính bằng 3. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối trụ và khối cầu đã cho. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{7}{40}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?