Cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} = 4\) và \[\left( {{C_2}} \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x - 2\left( {m - 2} \right)y + m + 6 = 0.\] Xác định \[m\] để hai đường tròn trên tiếp xúc ngoài với nhau.

Đáp án B

Phương pháp giải:

Đường tròn \[\left( {{C_1}} \right)\] có tâm \[{I_1},\] bán kính \({R_1}\) tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2},\) bán kính \({R_2}\) \( \Rightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\)

Giải chi tiết:

Để phương trình \(\left( {{C_2}} \right)\) là phương trình đường tròn thì: \({\left( {2m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} - m - 6 > 0\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 + {m^2} - 4m + 4 - m - 6 > 0\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} - 9m - 1 > 0{\mkern 1mu} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{{9 + \sqrt {101} }}{{10}}}\\{m < \frac{{9 - \sqrt {101} }}{{10}}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {{C_2}} \right)\) luôn là phương trình đường tròn với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{{9 + \sqrt {101} }}{{10}}}\\{m < \frac{{9 - \sqrt {101} }}{{10}}}\end{array}} \right..\)

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 2\).

\(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {2m - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m - 2} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2} - m - 6} = \sqrt {5{m^2} - 9m - 1} .\)

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau \( \Leftrightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} = 2 + \sqrt {5{m^2} - 9m - 1} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {5{m^2} - 8m + 5} = 2 + \sqrt {5{m^2} - 9m - 1} \)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} - 8m + 5 = 4 + 4\sqrt {5{m^2} - 9m - 1} + 5{m^2} - 9m - 1\)

\( \Leftrightarrow m + 2 = 4\sqrt {5{m^2} - 9m - 1} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 2 \ge 0}\\{{{\left( {m + 2} \right)}^2} = 16\left( {5{m^2} - 9m - 1} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - 2}\\{{m^2} + 4m + 4 = 80{m^2} - 144m - 16}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - 2}\\{79{m^2} - 148m - 20 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - \frac{{10}}{{79}}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - \frac{{10}}{{79}}}\end{array}} \right.\)