Câu hỏi:
01/07/2022 2,532
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(AA' = 2\sqrt {13} a\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) và \(\angle ABC = {30^0}\), góc giữa cạnh bên \(CC'\) và mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\). Thể tích của khối tứ diện \(A'ABC\) theo \(a\) bằng:
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(AA' = 2\sqrt {13} a\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) và \(\angle ABC = {30^0}\), góc giữa cạnh bên \(CC'\) và mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\). Thể tích của khối tứ diện \(A'ABC\) theo \(a\) bằng:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(\angle \left( {CC';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {BB';\left( {ABC} \right)} \right) = {60^0}\), , xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(B'G,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM\) (M là trung điểm của \(AC\)).
- Đặt \(BC = x\), tính \(MC\) theo x.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BCM\) tìm x theo a.
- Tính \({V_{A'ABC}} = \frac{1}{3}.B'G.{S_{\Delta ABC}}\).
Giải chi tiết:
Ta có \(CC'//BB' \Rightarrow \angle \left( {CC';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {BB';\left( {ABC} \right)} \right) = {60^0}\)
Vì \(B'G \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(GB\) là hình chiếu vuông góc của \(B'B\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {BB';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {BB';BG} \right) = \angle B'BG = {60^0}\)
Xét tam giác vuông \(BB'G\) ta có: \(BB' = AA' = 2\sqrt {13} a\)
\( \Rightarrow B'G = BB'.\sin {60^0} = a\sqrt {39} \) và \(BG = BB'.\cos {60^0} = a\sqrt {13} \)
\( \Rightarrow BM = \frac{3}{2}BG = \frac{{3a\sqrt {13} }}{2}\)
Đặt \(BC = x \Rightarrow AC = BC.\tan {30^0} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow MC = \frac{1}{2}AC = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BMC\) ta có:
\(B{M^2} = M{C^2} + B{C^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3a\sqrt {13} }}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {x^2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{117{a^2}}}{4} = \frac{{13{x^2}}}{{12}}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} = 27{a^2} \Rightarrow x = 3a\sqrt 3 = BC\)
\( \Rightarrow AC = 3a\).
Nên \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AC.BC = \frac{1}{2}.3a.3a\sqrt 3 = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \({V_{A'ABC}} = \frac{1}{3}.B'G.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt {39} .\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9{a^3}\sqrt {13} }}{2}\).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: \(S = \frac{{937}}{{12}}\)
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\( - {x^3} + 12x = - {x^2} \Leftrightarrow - {x^3} + {x^2} + 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)
Vậy diện tích của hình phẳng \(\left( H \right)\) là:
\(\int\limits_{ - 3}^0 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|} + \int\limits_0^4 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|} = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}\).
Lời giải
Đáp án D
Phương pháp giải:
- Tìm hàm số vận tốc: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \), sử dụng dữ kiện \(v\left( 0 \right) = 15\) để tìm C.
- Quãng đường đi được sau 10 giây là: \(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} \).
Giải chi tiết:
Ta có \(v = \int {a\left( t \right)dt = \int {\left( {3t - 8} \right)dt} } = \frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + C\).
Vì ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s nên ta có: \(v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15.\)
\( \Rightarrow v = \frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15.\)
Vậy quãng đường ô tô đi được sau 10 giây là: \(S = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15} \right)dt = 250} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận