Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\). Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\).

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Từ \(f'\left( x \right)\) suy ra các nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), chú ý nghiệm bội chẵn, bội lẻ.

- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\).

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) xác định các nghiệm bội lẻ.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {nghiem{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} boi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right)}\\{x = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {nghiem{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} don} \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\)

\({\mkern 1mu} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = 0}\\{f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{{x^2} + 2x + 6 = 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\) (đều là các nghiệm đơn).

(Ta không xét \(\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = - 1\) vì \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu qua \(x = - 1\) nên nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = - 1\) không làm cho \(g'\left( x \right)\) đổi dấu).

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.