Tìm \(m\) để phương trình \(2x - 4 = 3\sqrt {x - m} \) có nghiệm.

Đáp án A

Phương pháp giải:

Giải phương trình dạng \(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A \ge 0}\\{A = {B^2}}\end{array}} \right.\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x - m \ge 0 \Leftrightarrow x \ge m\)

Ta có: \(2x - 4 = 3\sqrt {x - m} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{4{{\left( {x - 2} \right)}^2} = 9\left( {x - m} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{4{x^2} - 16x + 16 = 9x - 9m}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{4{x^2} - 25x + 9m + 16 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm \(x \ge 2\).

\( \Rightarrow \Delta = {25^2} - 4.4\left( {9m + 16} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 369 - 144m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{41}}{{16}}\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{{25 \pm \sqrt {369 - 144m} }}{8}\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{25 + \sqrt {369 - 144m} }}{8} \ge 2}\\{\frac{{25 - \sqrt {369 - 144m} }}{8} \ge 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {369 - 144m} \ge - 9{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {luon{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dung} \right)}\\{\sqrt {369 - 144m} \le 9}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 \le 369 - 144m \le 81\)

\( \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{41}}{{16}}\).

Kết hợp điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{x \ge m}\end{array}} \right.\) ta thấy \(2 \le m \le \frac{{41}}{{16}}\) thỏa mãn.

Vậy \(2 \le m \le \frac{{41}}{{16}}\).